Question

【題目】定義：連結菱形的一邊中點與對邊的兩端點的線段把它分成三個三角形，如果其中有兩個三角形相似，那么稱這樣的菱形為自相似菱形．

(1)判斷下列命題是真命題，還是假命題？

①正方形是自相似菱形；

②有一個內角為60°的菱形是自相似菱形．

③如圖1，若菱形ABCD是自相似菱形，∠ABC=α(0°＜α＜90°)，E為BC中點，則在△ABE，△AED，△EDC中，相似的三角形只有△ABE與△AED．

(2)如圖2，菱形ABCD是自相似菱形，∠ABC是銳角，邊長為4，E為BC中點．

①求AE，DE的長；

②AC，BD交于點O，求tan∠DBC的值．

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2)①AE=2，DE=4；②tan∠DBC=．

【解析】

（1）①證明△ABE≌△DCE（SAS），得出△ABE∽△DCE即可；

②連接AC，由自相似菱形的定義即可得出結論；

③由自相似菱形的性質即可得出結論；

（2）①由（1）③得△ABE∽△DEA，得出，求出AE＝2，DE＝4即可；

②過E作EM⊥AD于M，過D作DN⊥BC于N，則四邊形DMEN是矩形，得出DN＝EM，DM＝EN，∠M＝∠N＝90°，設AM＝x，則EN＝DM＝x+4，由勾股定理得出方程，解方程求出AM＝1，EN＝DM＝5，由勾股定理得出DN＝EM＝＝，求出BN＝7，再由三角函數定義即可得出答案．

解：(1)①正方形是自相似菱形，是真命題；理由如下：

如圖3所示：

∵四邊形ABCD是正方形，點E是BC的中點，

∴AB=CD，BE=CE，∠ABE=∠DCE=90°，

在△ABE和△DCE中

，

∴△ABE≌△DCE(SAS)，

∴△ABE∽△DCE，

∴正方形是自相似菱形，

故答案為：真命題；

②有一個內角為60°的菱形是自相似菱形，是假命題；理由如下：

如圖4所示：

連接AC，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB=BC=CD，AD∥BC，AB∥CD，

∵∠B=60°，

∴△ABC是等邊三角形，∠DCE=120°，

∵點E是BC的中點，

∴AE⊥BC，

∴∠AEB=∠DAE=90°，

∴只能△AEB與△DAE相似，

∵AB∥CD，

∴只能∠B=∠AED，

若∠AED=∠B=60°，則∠CED=180°﹣90°﹣60°=30°，

∴∠CDE=180°﹣120°﹣30°=30°，

∴∠CED=∠CDE，

∴CD=CE，不成立，

∴有一個內角為60°的菱形不是自相似菱形，

故答案為：假命題；

③若菱形ABCD是自相似菱形，∠ABC=α(0°＜α＜90°)，E為BC中點，

則在△ABE，△AED，△EDC中，相似的三角形只有△ABE與△AED，是真命題；理由如下：

∵∠ABC=α(0°＜α＜90°)，

∴∠C＞90°，且∠ABC+∠C=180°，△ABE與△EDC不能相似，

同理△AED與△EDC也不能相似，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AD∥BC，

∴∠AEB=∠DAE，

當∠AED=∠B時，△ABE∽△DEA，

∴若菱形ABCD是自相似菱形，∠ABC=α(0°＜α＜90°)，E為BC中點，

則在△ABE，△AED，△EDC中，相似的三角形只有△ABE與△AED，

故答案為：真命題；

(2)①∵菱形ABCD是自相似菱形，∠ABC是銳角，邊長為4，E為BC中點，

∴BE=2，AB=AD=4，

由(1)③得：△ABE∽△DEA，

∴

∴AE2=BEAD=2×4=8，

∴AE=2，DE===4，

故答案為：AE=2；DE=4；

②過E作EM⊥AD于M，過D作DN⊥BC于N，如圖2所示：則四邊形DMEN是矩形，

∴DN=EM，DM=EN，∠M=∠N=90°，

設AM=x，則EN=DM=x+4，

由勾股定理得：EM2=DE2﹣DM2=AE2﹣AM2，

即(4)2﹣(x+4)2=(2)2﹣x2，

解得：x=1，

∴AM=1，EN=DM=5，

∴DN=EM==，

在Rt△BDN中，

∵BN=BE+EN=2+5=7，

∴tan∠DBC=，

故答案為：．