Question

如圖，已知在平面直角坐標系中，點A（4，0）、B（-3，0），點C在y軸正半軸上，且tan∠CAO=1，點Q是線段AB上的動點，過點Q作QE∥AC交BC于點E．
（1）求點C的坐標及直線BC的解析式；
（2）連結CQ，當△CQE的面積最大時，求點Q的坐標；
（3）若點P是線段AC上的點，是否存在這樣的點P，使△PQE成為等腰直角三角形？若存在，試求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）∵直角△AOC中tan∠CAO=1，
∴OC=OA=4，
∴C點坐標為（0，4），
設直線BC的解析式是y=mx+n，則 ，
解得：．
則BC所在直線為y=x+4；

（2）設直線AC的解析式是y=kx+b，則，
解得：，
則AC所在直線為y=4-x．
設Q點坐標為（q，0），其中q∈[-3，4]，則EQ所在直線為y=q-x，
解方程組，解得：．
則E點坐標為（，），
S_△ABC=AB•OC=×7×4=14，
AQ=4-q，BQ=q+3，
∵QE∥AC，
∴△BEQ∽△BCA，
∴=（）²=，
∴S_△BEQ=×14=，
S_△ACQ=AQ•OC=（4-q）×4=2（4-q），
∴S_△CEQ=S_△ABC-S_△BEQ-S_△ACQ=14--2（4-q）
=-++，
則當q=時，△CEQ的面積最大，則Q的坐標是（，0）；

（3）設P點坐標為（p，4-p） 其中p∈[0，4]，
可得PQ²=（p-q）²+（4-p）²
PE²=（p-q+）²+（4-p-）²
QE²=（）²+（）²=，
△PQE成為等腰直角三角形
（1）PQ為斜邊，則有 PE²=QE²
PQ²=2QE²的可得到（p-q+）²+（4-p-）²=，
（p-q）²+（4-p）²=，
解得或 ．
其中q=與q∈[-3，4]的范圍不符 所以p=，q=，
對應P點坐標為（，）Q點坐標為（，0）；
（2）PE為斜邊 則有 PQ²=QE²PE²=2QE²即 （p-q）²+（4-p）²=
（p-q+）²+（4-p-）²=
可解得，對應P點坐標為（，）Q點坐標為（，0）；

（3）QE為斜邊則有 PQ²=，PE²=
即 （p-q）²+（4-p）²=
（p-q+）²+（4-p-）²=，
解得．
對應P點坐標為（，）Q點坐標為（，0）．
所有符合條件的點P坐標為（，）和（，）．
分析：（1）在直角△AOC中，利用三角函數即可求得OC的長，從而得到C的坐標，利用待定系數法即可求得直線BC的解析式；
（2）設Q的坐標是（q，0），根據相似三角形的性質，用q表示出△BEQ的面積，以及△ACQ的面積，則△CQE的面積即可表示成q的函數，利用函數的性質即可求得q的值；
（3）設P點坐標為（p，4-p），即可利用p、q表示出△PQE的三邊的長，然后分三種情況討論，即可求得p，q的值，從而求得P的坐標．
點評：本題考查了相似三角形的性質，待定系數法求函數的解析式以及二次函數的性質的綜合應用，正確進行討論是關鍵．