Question

【題目】如圖1，⊙O的半徑為r（r＞0），若點P′在射線OP上，滿足OP′OP=r2，則稱點P′是點P關于⊙O的“反演點”．

如圖2，⊙O的半徑為4，點B在⊙O上，∠BOA=60°，OA=8，若點A′，B′分別是點A，B關于⊙O的反演點，求A′B′的長．

Answer 1

【答案】2．

【解析】

試題分析：設OA交⊙O于C，連結B′C，如圖2，根據新定義計算出OA′=2，OB′=4，則點A′為OC的中點，點B和B′重合，再證明△OBC為等邊三角形，則B′A′⊥OC，然后在Rt△OA′B′中，利用正弦的定義可求A′B′的長．

解：設OA交⊙O于C，連結B′C，如圖2，

∵OA′OA=42，

而r=4，OA=8，

∴OA′=2，

∵OB′OB=42，

∴OB′=4，即點B和B′重合，

∵∠BOA=60°，OB=OC，

∴△OBC為等邊三角形，

而點A′為OC的中點，

∴B′A′⊥OC，

在Rt△OA′B′中，sin∠A′OB′=，

∴A′B′=4sin60°=2．