Question

【題目】如圖1，在等邊△ABC中，點D是邊AC的中點，點P是線段DC上的動點（點P與點C不重合），連接BP．將△ABP繞點P按順時針方向旋轉α角（0°＜α＜180°），得到△A1B1P，連接AA1 ， 射線AA1分別交射線PB、射線B1B于點E、F．
（1）如圖1，當0°＜α＜60°時，在α角變化過程中，△BEF與△AEP始終存在關系（填“相似”或“全等”），并說明理由；
（2）如圖2，設∠ABP=β．當60°＜α＜180°時，在α角變化過程中，是否存在△BEF與△AEP全等？若存在，求出α與β之間的數量關系；若不存在，請說明理由；
（3）如圖3，當α=60°時，點E、F與點B重合．已知AB=4，設DP=x，△A1BB1的面積為S，求S關于x的函數關系式．

Answer 1

【答案】
（1）相似
（2）解：存在，理由如下：

∵∠PAE=∠EBF，∠AEP=∠BEF，

∴△BEF∽△AEP，

若要使得△BEF≌△AEP，只需要滿足BE=AE即可，

∴∠BAE=∠ABE，

∵∠BAC=60°，

∴∠BAE= ，

∵∠ABE=β，∠BAE=∠ABE，

∴ ，

即α=2β+60°

（3）解：連接BD，交A1B1于點G，

過點A1作A1H⊥AC于點H．

∵∠B1A1P=∠A1PA=60°，

∴A1B1∥AC，

由題意得：AP=A1P=2+x，∠A=60°，

∴△PAA1是等邊三角形，

∴A1H=sin60°A1P= ，

在Rt△ABD中，BD= ，

∴BG= ，

∴ （0≤x＜2）．

【解析】解：（1）相似 由題意得：∠APA1=∠BPB1=α，AP=A1P，BP=B1P，
則∠PAA1=∠PBB1= ，
∵∠PBB1=∠EBF，
∴∠PAE=∠EBF，
又∵∠BEF=∠AEP，∠EBF=∠EAP，
∴△BEF∽△AEP；
【考點精析】關于本題考查的相似三角形的判定與性質和旋轉的性質，需要了解相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方；①旋轉后對應的線段長短不變，旋轉角度大小不變；②旋轉后對應的點到旋轉到旋轉中心的距離不變；③旋轉后物體或圖形不變，只是位置變了才能得出正確答案．