Question

【題目】如圖，在等邊△ABC中，M是邊BC延長線上一點，連接AM交△ABC的外接圓于點D，延長BD至N，使得BN=AM，連接CN、MN，

（1）求證：△CMN是等邊三角形；

（2）判斷CN與⊙O的位置關系，并說明理由；

（3）若AD：AB=3：4，BN=4，求等邊△ABC的邊長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析;（2）CN是⊙O的切線,理由見解析；（3）等邊△ABC的邊長是3．

【解析】試題分析：（1）根據全等三角形的判定定理得到△BCN≌△ACM，由全等三角形的性質得到CN=CM，∠BCN=∠ACM，求得∠MCN=∠ACB=60°，即可得到結論；

（2）根據全等三角形的性質得到∠ACO=∠BCO=ACB=30°，根據角的和差得到∠OCN=90°，根據切線的判定定理得到結論；

（3）根據相似三角形的判定和性質即可得到結論．

試題解析：解：（1）在△BCN與△ACM中，∵BC=AC，∠CBN=∠CAM，BN=AM，∴△BCN≌△ACM，∴CN=CM，∠BCN=∠ACM，∴∠BCN﹣∠ACN=∠ACM﹣∠ACN，即∠MCN=∠ACB=60°，∴△CMN是等邊三角形；

（2）連接OA．OB．OC，在△BOC與△AOC中，∵OA=OB，AC=BC，OC=OC，∴△BOC≌△AOC，∴∠ACO=∠BCO=∠ACB=30°，∵∠ACB=∠MCN=60°，∴∠ACN=60°，∴∠OCN=90°，∴OC⊥CN，∴CN是⊙O的切線；

（3）∵∠ADB=∠ACB=60°，∴∠ADB=∠ABC，∵∠BAD=∠MAB，∴△ABD∽△AMB，∴ ，∵AM=BN=4，∴AB=3，∴等邊△ABC的邊長是3．