Question

【題目】如圖，在直角坐標系中，，，是線段上靠近點的三等分點．

（1）求點的坐標；

（2）若點是軸上的一動點，連接、，當的值最小時，求出的坐標及的最小值；

（3）如圖2，過點作，交于點，再將繞點作順時針方向旋轉，旋轉角度為，記旋轉中的三角形為，在旋轉過程中，直線與直線的交點為，直線與直線交于點，當為等腰三角形時，請直接寫出的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）最小值，M；（3）、、、

【解析】

（1）過點作軸于點，證得，然后由相似三角形的性質求得，從而求得GB，HG的長度，使問題得解；

（2）作點關于軸的對稱點，連接交軸于點，此時的值最小即的長度，根據勾股定理求長度，然后利用待定系數法求直線的函數解析式，從而求與y軸交點坐標，使問題得解；

（3）依據△OST為等腰三角形，分4種情況畫出圖形，即可得到旋轉角的度數．

解：（1）如圖，過點作軸于點．

因為軸

∴HG∥OA

∴，

又∵是線段上靠近點的三等分點

∴，

∵，，

∴，

∴

∴

（2）如圖，作點關于軸的對稱點，連接交軸于點．

則為，

此時

∴的最小值為；

設直線：，把，B（3，0）代入得：

，解得：

∴直線為

當時，

∴為

（3）如圖，當OT=OS時，α=75°-30°=45°；

如圖，當OT=TS時，α=90°；

如圖，當OT=OS時，α=90°+60°-15°=135°；

如圖，當ST=OS時，α=180°；

綜上所述，α的值為45°，90°，135°，180°．