Question

【題目】如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，E、F分別是邊CD、AD上動(dòng)點(diǎn)，AE和BF交于點(diǎn)G．

（1）如圖（1），若E為邊CD的中點(diǎn)，AF=2FD，求AG的長(zhǎng)．

（2）如圖（2），若點(diǎn)F在AD上從A向D運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E在DC上從D向C運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，同時(shí)到達(dá)各自終點(diǎn)，求在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)．

（3）如圖（3），若E、F分別是邊CD、AD上的中點(diǎn)，BD與AE交于點(diǎn)H，求∠FBD的正切值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）根據(jù)正方形的邊長(zhǎng)為6，易知DE = CE = 3；由已知AF=2FD可得AF = 4；從而用AAS證明△ADE≌△MCE（AAS），進(jìn)而求出AD = MC = 6；通過(guò)證明△AGF∽△MBG，再通過(guò)相似三角形的性質(zhì)得，運(yùn)用勾股定理計(jì)算出AM=,最后得出AG；

（2）動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，通過(guò)證明△ABF≌△DAE(HL)，進(jìn)而得出AFG =∠AED，∠DAE =∠ABF等量關(guān)系，易推論出∠AFG+∠DAE=90° ，以證明∠AGB=90°,從而推出G點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的實(shí)質(zhì)是在以O為圓心，OA為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)了圓周，運(yùn)用扇形的弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可得G運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)度；

（3）通過(guò)做輔助線過(guò)點(diǎn)F作FN⊥BD于點(diǎn)D，構(gòu)建出Rt△BNF和Rt△DNF，再根據(jù)已知條件E、F分別是邊CD、AD上的中點(diǎn)，解直角三角形分別求出直角邊NF = ND，BN=BD-DN,最后把所求數(shù)據(jù)代入求解即可.

解：（1）延長(zhǎng)AE交BC延長(zhǎng)線于M,

在正方形ABCD中，∠DAE =∠M

∵E為DC的中點(diǎn)，AF=2FD,正方形邊長(zhǎng)為6

∴DE = CE = 3，AF = 4

在△ADE和△MCE中

∴△ADE≌△MCE（AAS）

∴AD = MC = 6

在△AGF和△MBG中

∴△AGF∽△MBG

∴

AM=

∴AG.

（2）設(shè)AB的中點(diǎn)為點(diǎn)O，則OA =AB = 3，

由題意知：AF=DE，AB=AD

∴△ABF≌△DAE(HL)

∴∠AFG =∠AED，∠DAE =∠ABF

∵∠AFG +∠ABF=90°，∠DAE +∠AED=90°

∴∠AFG+∠DAE=90°

∴∠AGB=90°

∴點(diǎn)G 在以O為圓心，OA為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)了圓周

∴點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng) = π = π；

（3）過(guò)點(diǎn)F作FN⊥BD于點(diǎn)D，據(jù)題意知∠FDN=45°，BD =

∵E、F分別是邊CD、AD上的中點(diǎn)

∴DF = ×6 = 3

∴在Rt△DNF中,FN = DN = sin45°DF

∴BN = BD–DN =

∴