Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，已知拋物線y=ax2+bx-5與x軸交于A（-1，0），B（5，0）兩點，與y軸交于點C．

（1）求拋物線的函數表達式；

（2）如圖2，CE∥x軸與拋物線相交于點E，點H是直線CE下方拋物線上的動點，過點H且與y軸平行的直線與BC，CE分別交于點F，G，試探究當點H運動到何處時，四邊形CHEF的面積最大，求點H的坐標及最大面積；

（3）若點K為拋物線的頂點，點M（4，m）是該拋物線上的一點，在x軸，y軸上是否存在點P，Q，使四邊形PQKM的周長最小，若沒有，說明理由；若有，求出點P，Q的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=x2-4x-5；（2）H（，），面積最大為；（3）存在，P（,0），Q（0，-）．

【解析】

（1）根據待定系數法直接求出拋物線解析式即可；

（2）設H（t，t2﹣4t﹣5），求出直線BC的解析式，即可表示出點F的坐標，進而求出四邊形CHEF的面積與t的函數關系式，利用二次函數求最值即可；

（3）利用對稱性找出點P，Q的位置，進而求出P，Q的坐標．

解：（1）∵點A（﹣1，0），B（5，0）在拋物線y＝ax2+bx﹣5上，

∴，

解得，

∴拋物線的表達式為y＝x2﹣4x﹣5，

（2）設H（t，t2﹣4t﹣5），

∵CE∥x軸，

∴點E的縱坐標為﹣5，

∵E在拋物線上，

∴x2﹣4x﹣5＝﹣5，

∴x＝0（舍）或x＝4，

∴E（4，﹣5），

∴CE＝4，

設直線BC的解析式為y=kx＋c

將B（5，0），C（0，﹣5）代入，得

解得：

∴直線BC的解析式為y＝x﹣5，

∴F（t，t﹣5），

∴HF＝t﹣5﹣（t2﹣4t﹣5）＝﹣（t﹣）2+，

∵CE∥x軸，HF∥y軸，

∴CE⊥HF，

∴S四邊形CHEF＝CEHF＝﹣2（t﹣）2+，

∵-2＜0

∴當t=時，S四邊形CHEF最大，最大值為

∴H（，﹣）；

（3）如圖2，四邊形PQKM的周長=PM＋PQ＋QK＋KM（其中KM為定值）

∵K為拋物線的頂點，y=x2-4x-5=（x-2）2-9

∴K（2，﹣9），

∴K關于y軸的對稱點K′（﹣2，﹣9），

∵M（4，m）在拋物線上，

∴m=16－16－5=-5

∴M（4，﹣5），

∴點M關于x軸的對稱點M′（4，5），

連接K′M′，分別交x軸于點P，交y軸于點Q

∴此時PM=PM′，QK=QK′

∴此時四邊形PQKM的周長=PM＋PQ＋QK＋KM= PM′＋PQ ＋QK′＋KM=M′K′＋KM，根據兩點之間線段最短，此時四邊形PQKM的周長最小

設直線K′M′的解析式為y＝ex＋d

將K′、M′的坐標代入，得

解得：

∴直線K′M′的解析式為y＝，

當y=0時，解得x=；當x=0時，解得y=

∴P（，0），Q（0，﹣）．