Question

【題目】在平面直角坐標系中，二次函數的圖象與軸正半軸交于點．

求證：該二次函數的圖象與軸必有兩個交點；

設該二次函數的圖象與軸的兩個交點中右側的交點為點，若，將直線向下平移個單位得到直線，求直線的解析式；

在的條件下，設為二次函數圖象上的一個動點，當時，點關于軸的對稱點都在直線的下方，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】解析；直線； 的取值范圍為：．

【解析】

（1）直接利用根的判別式，結合完全平方公式求出△的符號進而得出答案；
（2）首先求出B，A點坐標，進而求出直線AB的解析式，再利用平移規律得出答案；
（3）根據當-3＜p＜0時，點M關于x軸的對稱點都在直線l的下方，當p=0時，q=1；當p=-3時，q=12m+4；結合圖象可知：-（12m+4）≤2，即可得出m的取值范圍．

令，則

，

∵二次函數圖象與軸正半軸交于點，

∴，且，

又∵，

∴，

∴，

∴該二次函數的圖象與軸必有兩個交點；

令，

解得：，，

由得，故的坐標為，

又因為，

所以，即，

則可求得直線的解析式為：．

再向下平移個單位可得到直線；

由得二次函數的解析式為：．

∵為二次函數圖象上的一個動點，

∴．

∴點關于軸的對稱點的坐標為．

∴點在二次函數上．

∵當時，點關于軸的對稱點都在直線的下方，

當時，；當時，；

結合圖象可知：，

解得：．

∴的取值范圍為：．