Question

如圖，在平面直角坐標系中，Rt△AOB的頂點坐標分別為A（-2，0），O（0，0），B（0，2），把Rt△AOB繞著點O順時針旋轉90°得到Rt△BOC，（點A旋轉到點B的位置），拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經過B，C兩點，與x軸的另一個交點為點D，頂點為點P，對稱軸為直線x=3，
（1）求該拋物線的解析式；
（2）連接BC，CP，PD，BD，求四邊形PCBD的面積；
（3）在拋物線上是否存在一點M，使得△MDC的面積等于四邊形PCBD的面積？如果存在，求出點M的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）由題意得：B（0，2），C（2，0），對稱軸x=3，
設拋物線的解析式為y=a（x-3）²+k，
∵拋物線經過B（0，2），C（2，0），
∴2=9a+k，0=a+k
解得：a=，k=-，
∴y=（x-3）²-，
∴拋物線的解析式為y=x²-；

（2）設對稱軸與x軸的交點為N，
由圖可知：CD=2，
S_△BCD=•CD•OB=×2×2=2，
S_△pCD=CD•PN=CD•|P_y|=×2×=，
∴S_{四邊形PCBD}=S_△BCD+S_△pCD=2+=；

（3）假設存在一點M，使得△MDC的面積等于四邊形PCBD的面積．
即：S_△MCD=S_{四邊形PCBD}，
CD•|M_y|=×，
|M_y|=，
又∵點M在拋物線上，
∴|x²-|=，
∴x²-=±，
∴x²-6x+8=±3，
∴x²-6x+5=0或x²-6x+11=0，
由x²-6x+5=0，
得x₁=5，x₂=1，
由x²-6x+11=0，
∵b²-4ac=36-44=-8＜0，
∴此方程無實根．
當x₁=5時，y₁=；當x₂=1時，y₂=．
∴存在一點M（5，），或（1，）使得△MDC的面積等于四邊形PCBD的面積．
分析：（1）由于拋物線的對稱軸是x=3，可設拋物線的解析式為頂點式，即設y=a（x-3）²+k，又拋物線經過B（0，2），C（2，0），用待定系數法即可求出拋物線的解析式；
（2）如果設對稱軸與x軸的交點為N，那么S_{四邊形PCBD}=S_△BCD+S_△pCD，根據三角形的面積公式即可求出四邊形PCBD的面積；
（3）首先根據△MDC的面積等于四邊形PCBD的面積，求出M點的縱坐標的絕對值，再由M點在拋物線y=x²-上，求出對應的x的值，進而得出點M的坐標．
點評：本題是二次函數的綜合題型，其中涉及到的知識點有拋物線的頂點公式和三角形的面積求法．在求有關動點問題時要注意分析題意分情況討論結果．