Question

如圖，在矩形ABCD中，E、F分別是邊AB、CD上的點，AE=CF，連接EF，BF，EF與對角線AC交于O點，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC。

（1）求證：OE=OF；
（2）若BC=，求AB的長。

Answer 1

解：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴DC∥AB。
∴∠OAE=∠OCF，∠OEA=∠OFC。
又∵AE=CF，∴△OEA≌△OFC（ASA）。
∴OE=OF。
（2）如圖，連接OB，

∵BE=BF，OE=OF，∴BO⊥EF，∠ABO=∠OBF。
∵∠BEF=2∠BAC，∴∠OBE=∠BAC。
又∵矩形ABCD中，∠ABC=90⁰，∴∠BOE=∠ABC=90⁰。
∴△OBE∽△BAC。∴。
∵∠BEF=2∠BAC，∴∠OAE=∠AOE。∴AE=OE。
設AB=x，AE=OE=y，則。
∵BC=，∴。
由（1）△OEA≌△OFC，得AO=CO，∴。
∴。∴ ①。
又∵，即，
化簡，得 ②。
由①②得，兩邊平方并化簡，得，
∴，∴根據x的實際意義，得x=6。
∴若BC=， AB的長為6。

（1）由矩形的性質，結合已知可根據ASA證出△OEA≌△OFC，從而得出結論
（2）連接OB，根據等腰三角形三線合一的性質可得BO⊥EF，∠ABO=∠OBF，從而得到△OBE∽△BAC，設出未知數和參數：AB=x，AE=OE=y，可得，在Rt△OBE中應用勾股定理得，二者聯立，解出x即可。