Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點，以為直徑在第一象限內作半圓，為半圓上一點，連接并延長至，使，過作軸于點，交線段于點，已知，拋物線經過、、三點．

________°．

求拋物線的函數表達式．

若為拋物線上位于第一象限內的一個動點，以、、、為頂點的四邊形面積記作，則取何值時，相應的點有且只有個？

Answer 1

【答案】(1)90;(2);(3) 以P、O、A、E為頂點的四邊形面積S等于16時，相應的點P有且只有3個．

【解析】

（1）利用圓周角定理，直徑所對的圓周角等于90°，即可得出答案；
（2）利用（1）中的結論易得OB是AC的垂直平分線，易得點B，點C的坐標，由點O，點B的坐標易得OB所在直線的解析式，從而得出點E的坐標，用待定系數法得拋物線的解析式；
（3）利用（2）的結論易得點P的坐標，分類討論①若點P在CD的左側，延長OP交CD于Q，如右圖2，易得OP所在直線的函數關系式，表示出Q點的縱坐標，
得QE的長，表示出四邊形POAE的面積；②若點P在CD的右側，延長AP交CD于Q，如右圖3，易得AP所在直線的解析式，從而求得Q點的縱坐標，得QE求得四邊形POAE的面積，當P在CD右側時，四邊形POAE的面積最大值為16，此時點P的位置就一個，令，解得p，得出結論．

解：(1)；連接，如圖所示，
∵由知，又，
∴是的垂直平分線，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴所在直線的函數關系為，
又∵點的橫坐標為，
∴點縱坐標為，

即，
拋物線過，，，
∴設此拋物線的函數關系式為，把點坐標代入得：
，
解得．
∴此拋物線的函數關系式為，即；

設點，
①若點在的左側，延長交于，如右圖，
所在直線函數關系式為：
∴當時，，即點縱坐標為，
∴，

，
，

②若點在的右側，延長交于，如右圖，

，
∴設所在直線方程為：，把和坐標代入得，
，
解得．
∴所在直線方程為：，
∴當時，，即點縱坐標為，
∴，
∴



，
∴當在右側時，四邊形的面積最大值為，此時點的位置就一個，
令，解得，，
∴當在左側時，四邊形的面積等于的對應的位置有兩個，
綜上所知，以、、、為頂點的四邊形面積等于時，相應的點有且只有個．