Question

【題目】如圖，平面直角坐標系中，二次函數y=x2﹣2x﹣3的部分圖象與x軸交于點A、

B（A在B的左邊），與y軸交于點C，連接BC，D為頂點．

（1）求∠OBC的度數；

（2）在x軸下方的拋物線上是否存在一點Q，使△ABQ的面積等于5？如存在，求Q點的坐標，如不存在，說明理由；

（3）點P是第四象限的拋物線上的一個動點（不與點D重合），過點P作PF⊥x軸交BC于點F，求線段PF長度的最大值．

Answer 1

【答案】（1）∠OBC=45°；（2）點Q的坐標為（，）或（，）；（3）PF的最大值是．

【解析】

（1）由拋物線已知，則可求三角形OBC的各個頂點，易知三角形形狀及內角．
（2）因為拋物線已固定，利用設點Q到AB的距離為a以及△ABQ的面積等于5，求出a的值，然后代入二次函數的表達式，即可求出Q點坐標；
（3）PF的長度即為yF-yP．由P、F的橫坐標相同，則可直接利用解析式作差．由所得函數為二次函數，則可用二次函數性質討論最值，解法常規．

（1）∵y=x2-2x-3=（x-3）（x+1），

∴當x=0時，y=-3，當y=0時，x=-1或x=3，

∴點C的坐標為（0，-3），點B（3，0），點A（-1，0），

∴OC=3，OB=3，

∴OB=OC，

∴∠OBC=∠OCB，

∵∠BOC=90°，

∴∠OBC=∠OCB=45°，

即∠OBC=45°；

（2）在x軸下方的拋物線上存在一點Q，使△ABQ的面積等于5，

∵點B（3，0），點A（-1，0），

∴AB=4，

設點Q到AB的距離為a，

∵△ABQ的面積等于5，

∴=5，得a=，

∵點Q在x軸下方，

∴點Q的縱坐標是-，

將y=-代入y=x2-2x-3，得

-=x2-2x-3，

解得，x=，

∴點Q的坐標為（，）或（，）；

（3）

設過點C（0，-3）和點B（3，0）的直線解析式為y=kx+b，

，得，

∴直線BC的函數解析式為y=x-3，

設點P的坐標為（m，m2-2m-3），

將x=m代入y=x-3，得y=m-3，

∴點F的坐標為（m，m-3），

∴PF=m-3-（m2-2m-3）=-m2+3m=-（m-）2+，

∴當m=時，PF取得最大值，此時PF=，

即PF的最大值是．