Question

如圖，在平面直角坐標系中，等腰梯形AOBC的四個頂點坐標分別為A（2，2），O（0，0），B（8，0），C（6，2）．
（1）求等腰梯形AOBC的面積；
（2）試說明點A在以OB的中點D為圓心，OB為直徑的圓上；
（3）在第一象限內確定點M，使△MOB與△AOB相似，求出所有符合條件的點M的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據四邊形AOBC是等腰梯形，可得AC=4，OB=8，高=2．由此可根據梯形的面積公式求出其面積．
（2）可根據O，A，B的坐標，分別求出OA²，OB²，AB²，只要符合勾股定理，就能得出△OAB是直角三角形，且OB為斜邊，也就得出所求的結論了．
（3）當△MOB與△AOB相似，那么△MOB也是個直角三角形．
第一種情況：OB是△MOB的斜邊，那么M與C點重合，此時：M（6，2）；
第二種情況：OB是△MOB的直角邊，且與OA相對應，那么可根據相似三角形求出BM的長，也就是M點的縱坐標，而M的橫坐標就是B點的橫坐標．
第三種情況：OB是△MOB的直角邊，且與AB相對應，那么也是根據相似三角形求出BM的長，即M的縱坐標，然后B點的橫坐標作為M的橫坐標，就求出了M的坐標．
解答：解：（1）∵A（2，2），B（8，0），C（6，2），梯形AOBC是等腰梯形，
∴S_梯形=（上底+下底）×高=×（4+8）×2=12．

（2）連接AB，那么AB²=6²+（2）²=48，
根據A，B的坐標可知：OA²=2²+（2）²=16，
OB²=8²=64，因此三角形OAB是直角三角形，且OB為斜邊．
∴OB=2AD，因此點A在圓D上．

（3）點M₁位于點C上時，△OM₁B與△OAB相似此時點M₁的坐標為M₁（6，2）．
過B點作OB的垂線交OA的延長線于M₂．
△OM₂B與△OAB相似，此時點M₂的坐標為M₂（8，8）．
過B點作OB的垂線交OC的延長線于M₃．
△OM₃B與△OAB相似此時點M₃的坐標為M₃（8，）．
點評：本題主要考查了等腰梯形的性質，直角三角形的外接圓的圓心以及相似三角形的性質等知識點，要注意第（3）問中，要根據對應邊的不同分別對三種相似關系進行討論．