Question

【題目】如圖，在ABCD中，E為BC邊上的一點，將△ABE沿AE翻折得到△AFE，點F恰好落在線段DE上．

（1）求證：∠FAD=∠CDE
（2）當AB=5，AD=6，且tan∠ABC=2時，求線段EC的長．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴∠B=∠ADC，

∵將△BAE沿AE翻折得到△FAE，點F恰好落在線段DE上，

∴△ABE≌△AFE，

∴∠B=∠AFE，

∴∠AFE=∠ADC，

∵∠FAD=∠AFE﹣∠1，∠CDE=∠ADC﹣∠1，

∴∠FAD=∠CDE

（2）

過點D作DG⊥BE，交BE的延長線于點G．

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥CD，AD∥BC，CD=AB=5，

∴∠2=∠B，∠3=∠EAD，

由（1）可知，△ABE≌△AFE，

∴∠B=∠AFE，∠3=∠4，

∴∠4=∠EAD，

∴ED=AD=6，

在Rt△CDG中，tan∠2=tan∠ABC==2，

∴DG=2CG，

∵DG2+CG2=CD2，

∴（2CG）2+CG2=52，

∴CG=，DG=2，

在Rt△EDG中，

∵EG2+DG2=DE2，

∴EG=4，

∴EC=4﹣．

【解析】（1）由平行四邊形的性質和翻折的性質得出∠B=∠ADC，∠B=∠AFE，得出∠AFE=∠ADC，即可得出結論；
（2）過點D作DG⊥BE，交BE的延長線于點G．由平行四邊形的性質得出∠2=∠B，∠3=∠EAD，由翻折的性質得出∠B=∠AFE，∠3=∠4，得出∠4=∠EAD．得出ED=AD=6，由三角函數得出DG=2CG，根據勾股定理得出DG2+CG2=CD2 ， 求出CG、DG，再根據勾股定理求出EG，即可得出EC．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解平行四邊形的性質的相關知識，掌握平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分．