Question

【題目】如圖，是的直徑，交于點，是的中點，與交于點，．

（1）求證：是的切線；

（2）已知，，

①求的長；

②求的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①BC=9；②DF=2．

【解析】

（1）連結(jié)AD，如圖，根據(jù)圓周角定理，由E是的中點得到∠EAB=∠EAD，由于∠ACB=2∠EAB，則∠ACB=∠DAB，再利用圓周角定理得到∠ADB=90°，則∠DAC+∠ACB=90°，所以∠DAC+∠DAB=90°，于是根據(jù)切線的判定定理得到AC是⊙O的切線；
（2）①在Rt△ABC中，根據(jù)cosC=，可得AC=6；

②作FH⊥AB于H，由BD=BC-CD=5，∠EAB=∠EAD，FD⊥AD，FH⊥AB，推出FD=FH，設(shè)FB=x，則DF=FH=5-x，根據(jù)cos∠BFH=cos∠C=，構(gòu)建方程即可解決問題；

（1）證明：連結(jié)AD，如圖，

∵E是的中點，

∴ =，

∴∠EAB=∠EAD，

∵∠ACB=2∠EAB，

∴∠ACB=∠DAB，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°，

∴∠DAC+∠ACB=90°，

∴∠DAC+∠DAB=90°，即∠BAC=90°，

∴AC⊥AB，

∴AC是⊙O的切線.

（2）①在Rt△ACB和Rt△ACD中，

∵cosC==，AC=6，

∴BC=9．

②作FH⊥AB于H，

∵∠EAB=∠EAD，FD⊥AD，FH⊥AB，

∴FD=FH，

設(shè)FB=x，

∵BD=BC﹣CD=9-4=5，

∴DF=FH=BD-BF=5﹣x，

∵FH∥AC，

∴∠HFB=∠C，

在Rt△BFH中，

∵cos∠BFH=cos∠C== ，

∴= ，

解得:x=3，

經(jīng)檢驗，x=3符合題

∴BF的長為3，

∴DF=5-3=2