Question

【題目】如圖，矩形ABCD的對角線AC的垂直平分線EF與AD、AC、BC分別交于點E、O、F．

（1）求證：四邊形AFCE是菱形；

（2）若AB＝5，BC＝12，求菱形AFCE的面積．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）

【解析】

（1）根據ABCD為矩形，根據矩形的對邊平行得到AE與CF平行，由兩直線平行得到一對內錯角相等，又EF垂直平分AC，根據垂直平分線的定義得到AO=CO，且AC與EF垂直，再加上一對對頂角相等，利用“ASA”得到三角形AOE與三角形COF全等，根據全等三角形的對應邊相等得到AE=FC，由一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形得到AFCE為平行四邊形，又根據對角線垂直的平行四邊形為菱形即可得證；

（2）由矩形的性質得到∠B為直角，在直角三角形ABC中，由AB與BC的長，利用勾股定理求出AC的長，又已知EF的長，而AC與EF為菱形AFCE的兩條對角線，根據對角線乘積的一半即可求出菱形的面積．

解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，

∴AE∥FC，

∴∠EAO＝∠FCO，

∵EF垂直平分AC，

∴AO＝CO，FE⊥AC，

又∠AOE＝∠COF，

∴△AOE≌△COF（AAS），

∴EO＝FO，

∴四邊形AFCE為平行四邊形，

又∵FE⊥AC，

∴平行四邊形AFCE為菱形；

（2）如圖，在Rt△ABC中，由AB＝5，BC＝12，

根據勾股定理得：AC＝＝13，

∴OA＝，

∵∠EAO＝∠ACB，

∴tan∠EAO＝tan∠ACB，

∴，即，

∴EO＝，

∴EF＝，

∴菱形AFCE的面積S＝ACEF＝；