Question

【題目】綜合與探究

如圖，拋物線y＝﹣x2﹣x+與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，直線l經過B、C兩點，點M從點A出發以每秒1個單位長度的速度向終點B運動，連接CM，將線段MC繞點M順時針旋轉90°得到線段MD，連接CD、BD．設點M運動的時間為t（t＞0），請解答下列問題：

（1）求點A的坐標與直線l的表達式；

（2）①請直接寫出點D的坐標（用含t的式子表示），并求點D落在直線l上時t的值；

②求點M運動的過程中線段CD長度的最小值．

Answer 1

【答案】（1）A（﹣3，0），y＝﹣x+；（2）①點D落在直線l上時，t＝6﹣2；②CD的最小值為．

【解析】

（1）解方程求出點A、點B的坐標，根據二次函數的性質求出點C的坐標，利用待定系數法求出直線l的表達式；

（2）①分點M在AO上運動、點M在OB上運動兩種情況，DN⊥x軸于N，證明△MCO≌△DMN，根據全等三角形的性質得到MN＝OC＝，DN＝OM＝3﹣t，得到點D的坐標，根據一次函數圖象上點的坐標特征求出t；

②根據等腰直角三角形的性質、垂線段最短解答．

（1）當y＝0時，﹣x2﹣x+=0，

解得x1＝1，x2＝﹣3，

∵點A在點B的左側，

∴A（﹣3，0），B（1，0），

當x＝0時，y＝，即C（0，），

設直線l的表達式為y＝kx+b，

將B，C兩點坐標代入得，，

解得，，

則直線l的表達式為y＝﹣x+；

（2）①如圖1，當點M在AO上運動時，過點D作DN⊥x軸于N，

由題意可知，AM＝t，OM＝3﹣t，MC⊥MD，

則∠DMN+∠CMO＝90°，∠CMO+∠MCO＝90°，

∴∠MCO＝∠DMN，

在△MCO與△DMN中，

，

∴△MCO≌△DMN（AAS），

∴MN＝OC＝，DN＝OM＝3﹣t，

∴D（t﹣3+，t﹣3）；

同理，如圖2，當點M在OB上運動時，

點D的坐標為：D（﹣3+t+，t﹣3）

將D點坐標代入直線BC的解析式y＝﹣x+得，t﹣3＝﹣×（﹣3+t+）+，

t＝6﹣2，即點D落在直線l上時，t＝6﹣2；

②∵△COD是等腰直角三角形，

∴CM＝MD，

∴線段CM最小時，線段CD長度的最小，

∵M在AB上運動，

∴當CM⊥AB時，CM最短，CD最短，即CM＝CO＝，

根據勾股定理得，CD的最小值為．