Question

【題目】如圖1，反比例函數（x＞0）的圖象經過點A（，1），射線AB與反比例函數圖象交于另一點B（1，a），射線AC與y軸交于點C，∠BAC＝75°，AD⊥y軸，垂足為D．

（1）求k的值；

（2）求tan∠DAC的值及直線AC的解析式；

（3）如圖2，M是線段AC上方反比例函數圖象上一動點，過M作直線l⊥x軸，與AC相交于點N，連接CM，求△CMN面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2），；（3）

【解析】試題分析：（1）根據反比例函數圖象上點的坐標特征易得k=2；

（2）作BH⊥AD于H，如圖1，根據反比例函數圖象上點的坐標特征確定B點坐標為（1，2），則AH=2﹣1，BH=2﹣1，可判斷△ABH為等腰直角三角形，所以∠BAH=45°，得到∠DAC=∠BAC﹣∠BAH=30°，根據特殊角的三角函數值得tan∠DAC=；由于AD⊥y軸，則OD=1，AD=2，然后在Rt△OAD中利用正切的定義可計算出CD=2，易得C點坐標為（0，﹣1），于是可根據待定系數法求出直線AC的解析式為y=x﹣1；

（3）利用M點在反比例函數圖象上，可設M點坐標為（t，）（0＜t＜2），由于直線l⊥x軸，與AC相交于點N，得到N點的橫坐標為t，利用一次函數圖象上點的坐標特征得到N點坐標為（t， t﹣1），則MN=﹣t+1，根據三角形面積公式得到S△CMN=t（﹣t+1），再進行配方得到S=﹣（t﹣）2+（0＜t＜2），最后根據二次函數的最值問題求解．

試題解析：（1）把A（2，1）代入y=，得k=2×1=2；

（2）作BH⊥AD于H，如圖1，

把B（1，a）代入反比例函數解析式y=，得a=2，

∴B點坐標為（1，2），

∴AH=2﹣1，BH=2﹣1，

∴△ABH為等腰直角三角形，∴∠BAH=45°，

∵∠BAC=75°，∴∠DAC=∠BAC﹣∠BAH=30°，

∴tan∠DAC=tan30°=；

∵AD⊥y軸，∴OD=1，AD=2，∵tan∠DAC==，

∴CD=2，∴OC=1，

∴C點坐標為（0，﹣1），

設直線AC的解析式為y=kx+b，

把A（2，1）、C（0，﹣1）代入得 ，解得 ，

∴直線AC的解析式為y=x﹣1；

（3）設M點坐標為（t，）（0＜t＜2），

∵直線l⊥x軸，與AC相交于點N，∴N點的橫坐標為t，∴N點坐標為（t， t﹣1），

∴MN=﹣（t﹣1）=﹣t+1，

∴S△CMN=t（﹣t+1）=﹣t2+t+=﹣（t﹣）2+（0＜t＜2），

∵a=﹣＜0，∴當t=時，S有最大值，最大值為．