Question

【題目】教材在探索平方差公式時利用了面積法，面積法除了可以幫助我們記憶公式，還可以直觀地推導或驗證公式，俗稱“無字證明”，例如，著名的趙爽弦圖（如圖①，其中四個直角三角形較大的直角邊長都為，較小的直角邊長都為，斜邊長都為），大正方形的面積可以表示為，也可以表示為，由此推導出重要的勾股定理：如果直角三角形兩條直角邊長為，斜邊長為，則．

（1）圖②為美國第二十任總統伽菲爾德的“總統證法”，請你利用圖②推導勾股定理．

（2）如圖③，在中，是邊上的高，，，，設，求的值．

（3）試構造一個圖形，使它的面積能夠解釋，畫在如圖4的網格中，并標出字母所表示的線段．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）；（3）詳見解析

【解析】

（1）梯形的面積可以由梯形的面積公式求出，也可利用三個直角三角形面積求出，兩次求出的面積相等列出關系式，化簡即可得證；

（2）設BD=x，是邊上的高，利用勾股定理列出方程即可求出BD；

（3）已知圖形面積的表達式，即可根據表達式得出圖形的邊長的表達式，即可畫出圖形．

解：（1）梯形的面積為，

也可以表示為，

，

即

（2）

在中，

在中，

所以，

解得

（3）∵圖形面積為：(a+b)(a+2b)=a+3ab+b

∴邊長為：(a+b)，(a+2b)

由此可畫出的圖形為：