Question

如圖6，在四邊形中，，平分，，．

（1）求證：四邊形是等腰梯形；                             （6分）
（2）取邊的中點，聯結．求證：四邊形是菱形．     （6分）

Answer 1

見解析

證明：（1）∵，∴ 
∵平分，
∴
∴ ，
∴∥                                                       （2分）
在中，，
∴,
∴                                                    （1分）
∴，
∴ ………………（1分）
∵
∴與不平行，                                               （1分）
∴四邊形是等腰梯形．                                        （1分）
證明：（2）∵，，
∴                                                       （1分）
在中，，
∴,                                               （1分）
∴，
∵∥                                                      （2分）
∴四邊形是平行四邊形                                       （1分）
∵
∴四邊形是菱形．                                            （1分）
（1）由等腰三角形的性質、角平分線的性質利用等量代換可以推知內錯角∠DCA=∠CAB，利用平行線的判定定理可以證得CD∥AB；然后由直角三角形的性質、角平分線的性質以及等腰三角形 判定定理知AD=BC；最后由等腰梯形的判定定理證得結論；
（2）根據菱形的判定定理（鄰邊相等的平行四邊形是菱形）知，欲證四邊形DEBC是菱形，首先證明四邊形DEBC是平行四邊形，然后結合（1）知鄰邊CD=BC