Question

【題目】如圖，E、F、 G、H分別為四邊形ABCD四邊之中點(diǎn)．

(1)求證：四邊形EFGH為平行四邊形；

(2)當(dāng)AC、BD滿足______時(shí)，四邊形EFGH為矩形．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）AC⊥BD

【解析】

（1）連接BD，根據(jù)中位線的性質(zhì)可得EH∥BD，EH=，FG∥BD，FG=，從而得出EH∥FG，EH= FG，然后根據(jù)平行四邊形的判定定理即可證出結(jié)論；

（2）當(dāng)AC⊥BD時(shí)，連接AC，根據(jù)中位線的性質(zhì)可得EF∥AC，從而得出EF⊥BD，然后由（1）的結(jié)論可證出EF⊥EH，最后根據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形即可證出結(jié)論．

（1）證明：連接BD

∵E、F、 G、H分別為四邊形ABCD四邊的中點(diǎn)

∴EH是△ABD的中位線，FG是△CBD的中位線

∴EH∥BD，EH=，FG∥BD，FG=

∴EH∥FG，EH= FG

∴四邊形EFGH為平行四邊形；

（2）當(dāng)AC⊥BD時(shí)，四邊形EFGH為矩形，理由如下

連接AC，

∵E、F為BA和BC的中點(diǎn)

∴EF為△BAC的中位線

∴EF∥AC

∵AC⊥BD

∴EF⊥BD

∵EH∥BD

∴EF⊥EH

∴∠FEH=90°

∵四邊形EFGH為平行四邊形

∴四邊形EFGH為矩形

故答案為：AC⊥BD．