Question

【題目】在中，，點在邊上，且，是射線上的一個動點(不與點重合，且)，在射線上截取，連接.

當點在線段上時，

①點與點重合，請根據題意補全圖1，并直接寫出線段與的數量關系為 ；

②如圖2，若點不與點重合，請證明;

(2)當點在線段的延長線上時，用等式表示線段之間的數量關系(直接寫出結果，不需要證明).

Answer 1

【答案】（1）①；②證明見解析；（2）AE＝BFCD或AE＝CDBF

【解析】

（1）①如圖1，根據已知條件得到△ABC是等邊三角形，由等邊三角形的性質得到AD＝AB＝BC，∠DAB＝∠ABC＝60°，由鄰補角的性質得到∠EAD＝∠FBD＝120°，推出△ADE≌△BDF，根據全等三角形的性質即可得到結論；②證明：在BE上截取BG＝BD，連接DG，得到△GBD是等邊三角形．同理，△ABC也是等邊三角形．求得AG＝CD，通過△DGE≌△DBF，得到GE＝BF，根據線段的和差即可得到結論；

（2）如圖3，連接DG，由（1）知，GE＝BF，AG＝CD，根據線段的和差和等量代換即可得到結論；如圖4，連接DG，由（1）知，GE＝BF，AG＝CD，根據線段的和差和等量代換即可得到結論．

（1）①如圖1，∵BA＝BC，∠EBD＝60°，

∴△ABC是等邊三角形，

∴AD＝AB＝BC，∠DAB＝∠ABC＝60°，

∴∠EAD＝∠FBD＝120°，

∵DE＝DF，

∴∠E＝∠F，

在△AEC與△BCF中，

∴△ADE≌△BDF，

∴AE＝BF；

故答案為：AE＝BF；

②證明：在BE上截取BG＝BD，連接DG，

∵∠EBD＝60°，BG＝BD，

∴△GBD是等邊三角形．

同理，△ABC也是等邊三角形．

∴AG＝CD，

∵DE＝DF，

∴∠E＝∠F．

又∵∠DGB＝∠DBG＝60°，

∴∠DGE＝∠DBF＝120°，

在△DGE與△DBF中，

，

∴△DGE≌△DBF，

∴GE＝BF，

∴AE＝BF＋CD；

（2）如圖3，連接DG，

由（1）知，GE＝BF，AG＝CD，

∴AE＝EGAG；

∴AE＝BFCD，

如圖4，連接DG，

由（1）知，GE＝BF，AG＝CD，

∴AE＝AGEG；

∴AE＝CDBF．

∴線段之間的數量關系為AE＝BFCD或AE＝CDBF.