Question

【題目】已知，如圖，四邊形ABCD是邊長為2的菱形，E、F分別是AB、AD的中點，連EF，將△FAE繞點F旋轉180°得△FDM．

（1）求證：EF⊥AC．

（2）若∠B=60°，求以E、M、C為頂點的三角形的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）S△MEC=．

【解析】試題分析：(1)連BD,由四邊形ABCD是菱形,可得AC⊥BD,又由E、F分別是AB、AD的中點,根據三角形中位線的性質,即可證得EF⊥AC;

(2)由旋轉的性質,即可得△FDM≌△FAE,又由菱形的性質,可證得∠MDF+∠FDC=180 ,即M、D、C三點共線,然后作AH⊥DC于H,作EN⊥DC于N,利用三角函數的知識即可求得EN的值,則可求得以E、M、C為頂點的三角形的面積.

解：（1）證明：連BD，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD．

又∵E、F分別為AB、AD的中點，

∴EF∥BD，

∴AC⊥EF．

（2）依題意，△FAE繞F點旋轉180°得△FDM，

∴△FDM≌△FAE，

∴∠EAF=∠MDF．

又∵菱形ABCD中，AB∥DC，∠EAF+∠FDC=180°，

∴∠MDF+∠FDC=180°，

∴M、D、C三點共線，

作AH⊥DC于H，作EN⊥DC于N，

則EN=AH．

∵AD=2，∠ADC=∠B=60°，

∴AH=ADsin60°==EN．

又∵MD=EA=AB=1，DC=2，

∴MC=MD+CD=3，

∴S△MEC=MCEN=×3×=．