Question

【題目】如圖，等腰中，＝90°，于，的平分線分別交、于、兩點，為的中點，延長交于點，連接．下列結論：① ；② ；③ ；④；上述結論中正確的個數是（ ）

A. 4個 B. 3個 C. 2個 D. 1個

Answer 1

【答案】A

【解析】

根據題意可得：AB=AC，∠BCA=∠ABC=45°=∠DAC=∠DAB，AD=BD=CD，AD⊥BC，即可證AE=AF，△ADN≌△BFD，△ABF≌△ANC，AM=MN；即可得結論．

解：∵等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，

∴AB=AC，∠BCA=∠ABC=45°=∠DAC=∠DAB，AD=BD=CD，AD⊥BC,

∵BE是平分∠ABC,

∴∠ABE=∠CBE=22.5°

∵AB⊥AC，AD⊥BC,

∴∠AEB=67.5°，∠AFD=67.5°=∠AFE,

∴∠AFE=∠AEB,

∴AF=AE,

故①正確,

∵M是EF的中點，AE=AF,

∴AM⊥BE，∠DAM=∠CAM=22.5°,

∴∠DAN=∠CBE=22.5°，且∠ADB=∠ADN，AD=BD,

∴△ADN≌△BDF

∴DF=DN,

故②正確,

∵AB=AC，∠ACB=∠DAB=45°，∠ABF=∠CAN=22.5°,

∴△ABF≌△CAN,

∴AF=CN，且AE=AF,

∴AE=CN,

故③正確,

∵∠BAN=∠BAD=∠DAN=67.5°，∠BNA=∠ACB+∠NAC=67.5°,

∴∠BAN=∠BNA,

∴BA=BN且AM⊥BE,

∴AM=MN,

∴△AMD和△DMN的面積相等,

故④正確,

故選：D．