Question

【題目】如圖，AB為⊙O直徑，BC為⊙O切線，連接A、C兩點，交⊙O于點D，BE=CE，連接DE，OE．
（1）判斷DE與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）求證：BC2=CD2OE；
（3）若cos∠BAD= ，BE=6，求OE的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：連接BD、OD，如圖，

∵AB為圓O的直徑，

∴∠ADB=90°，

在Rt△BDC中，E∵為斜邊BC的中點，

∴CE=DE=BE= BC，

∴∠C=∠CDE，

∵OA=OD，

∴∠A=∠ADO，

∵∠ABC=90°，

∴∠C+∠A=90°，

∴∠ADO+∠CDE=90°，

∴∠ODE=90°，

∴DE⊥OD，又OD為圓的半徑，

∴DE為⊙O的切線

（2）證明：∵E是BC的中點，O點是AB的中點，

∴OE是△ABC的中位線，

∴AC=2OE，

∵∠C=∠C，∠ABC=∠BDC，

∴△ABC∽△BDC，

∴BC：CD=AC：BC，

即BC2=ACCD．

∴BC2=2CDOE

（3）解：∵OE∥AC，

∴∠BOE=∠BAD，

在Rt△OBE中，cos∠BOE= = ，

設OB=3t，OE=5t，

則BE=4t，

∴4t=6，解得t= ，

∴OE=5t=

【解析】（1）利用圓周角定理得到∠ADB=90°，再利用直角三角形斜邊上的中線性質得CE=DE=BE= BC，則∠C=∠CDE，加上∠A=∠ADO得到∠C+∠A=90°，然后證明∠ODE=90°，從而根據切線的判定方法可判定DE為⊙O的切線；（2）先證明OE是△ABC的中位線得到AC=2OE，再證明△ABC∽△BDC，則利用相似比和比例的性質可得到結論；（3）利用OE∥AC得到∠BOE=∠BAD，根據余弦定義得到cos∠BOE= = ，則可設OB=3t，OE=5t，利用勾股定理得到BE=4t，于是得到4t=6，然后求出t后計算5t即可．