Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝13，BE＝4，點F從點B出發，在折線段BA﹣AD上運動，連接EF，當EF⊥BC時停止運動，過點E作EG⊥EF，交矩形的邊于點G，連接FG．設點F運動的路程為x，△EFG的面積為S．

（1）當點F與點A重合時，點G恰好到達點D，此時x＝　 　，當EF⊥BC時，x＝　 　；

（2）求S關于x的函數解析式，并直接寫出自變量x的取值范圍；

（3）當S＝15時，求此時x的值．

Answer 1

【答案】（1）6；10；（2）S＝x2+9x+12（0＜x≤6）；S＝x2﹣21x+102（6＜x≤10）；（3）﹣6+2．

【解析】

（1）當點F與點A重合時，x＝AB＝6；當EF⊥BC時，AF＝BE＝4，x＝AB+AF＝6+4＝10；

（2）分兩種情況：①當點F在AB上時，作GH⊥BC于H，則四邊形ABHG是矩形，證明△EFB∽△GEH，得出，求出EH＝x，得出AG＝BH＝BE+EH＝4+x，由梯形面積公式和三角形面積公式即可得出答案；

②當點F在AD上時，作FM⊥BC于M，則FM＝AB＝6，AF＝BM，同①得△EFM∽△GEC，得出，求出GC＝15﹣x，得出DG＝CD﹣CG＝x﹣9，EC＝BC﹣BE＝9，AF＝x﹣6，DF＝AD﹣AF＝19﹣x，由梯形面積公式和三角形面積公式即可得出答案；

（3）當x2+9x+12＝15時，當x2﹣21x+102＝15時，分別解方程即可．

（1）當點F與點A重合時，x＝AB＝6；

當EF⊥BC時，AF＝BE＝4，x＝AB+AF＝6+4＝10；

故答案為：6；10；

（2）∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，CD＝AB＝6，AD＝BC＝13，

分兩種情況：

①當點F在AB上時，如圖1所示：

作GH⊥BC于H，

則四邊形ABHG是矩形，

∴GH＝AB＝6，AG＝BH，∠GHE＝∠B＝90°，

∴∠EGH+∠GEH＝90°，

∵EG⊥EF，

∴∠FEB+∠GEH＝90°，

∴∠FEB＝∠EGH，

∴△EFB∽△GEH，

∴，即，

∴EH＝x，

∴AG＝BH＝BE+EH＝4+x，

∴△EFG的面積為S＝梯形ABEG的面積﹣△EFB的面積﹣△AGF的面積＝（4+4+x）×6﹣×4x﹣（6﹣x）（4+x）＝x2+9x+12，

即S＝x2+9x+12（0＜x≤6）；

②當點F在AD上時，如圖2所示：

作FM⊥BC于M，則FM＝AB＝6，AF＝BM，

同①得：△EFM∽△GEC，

∴，即，

解得：GC＝15﹣x，

∴DG＝CD﹣CG＝x﹣9，

∵EC＝BC﹣BE＝9，AF＝x﹣6，DF＝AD﹣AF＝19﹣x，

∴△EFG的面積為S＝梯形CDFE的面積﹣△CEG的面積﹣△DFG的面積

＝（9+19﹣x）×6﹣×9×（15﹣x）﹣（19﹣x）（x﹣9）＝x2﹣21x+102

即S＝x2﹣21x+102（6＜x≤10）；

（3）當x2+9x+12＝15時，

解得：x＝﹣6±（負值舍去），

∴x＝﹣6+；

當x2﹣21x+102＝15時，

解得：x＝14±（不合題意舍去）；

∴當S＝15時，此時x的值為﹣6+．