Question

小明遇到這樣一個問題：如圖1，在邊長為的正方形ABCD各邊上分別截取AE=BF=CG=DH=1，當∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°時，求正方形MNPQ的面積。小明發現：分別延長QE，MF，NG，PH，交FA，GB，HC，ED的延長線于點R，S，T，W，可得△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四個全等的等腰直角三角形（如圖2）請回答：

（1）若將上述四個等腰直角三角形拼成一個新的正方形（無縫隙，不重疊），則這個新的正方形的邊長為       ；
（2）求正方形MNPQ的面積。參考小明思考問題的方法，解決問題：
（3）如圖3，在等邊△ABC各邊上分別截取AD=BE=CF，再分別過點D，E，F作BC，AC，AB的垂線，得到等邊△RPQ，若，則AD的長為       。

Answer 1

（1）a
（2）∵△RQF，△SMG，△TNH，△WPE四個全等的等腰直角三角形面積和為，正方形ABCD的面積為，∴。
（3）

（1）由△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四個全等的等腰直角三角形可知△AER，△BFS，△CGT，△DHW也是全等的等腰直角三角形，從而得新的正方形的邊長FR=FA＋AR=FA＋AE=FA＋BF=a。
（2）由正方形ABCD的面積等于△RQF，△SMG，△TNH，△WPE四個全等的等腰直角三角形面積和可知。
（3）如圖，延長DP交BC于點H，

由可求得等邊△RPQ的邊長。
設等邊△ABC的邊長為a，AD=BE=CF=x，則BD=CE=。
由等邊三角形的性質和含30度角直角三角形的性質，得
DH=，BH=，EH=，
PH=，DR=EP=。
由DH=DR＋RP＋PH得：，
解得，即AD的長為。