Question

【題目】已知：如圖，在正方形ABCD外取點E，連接AE、BE、DE.過點A作AE的垂線交DE于點P，已知AE=AP=BE=1.

(1)求證：△APD≌△AEB；

(2)連接PC，求線段PC的長度；

(3)試求正方形ABCD的面積。

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）（3）2+

【解析】

（1）由四邊形ABCD是正方形，得到AB=AD，∠BAD=90°，由AE⊥AP，得到∠EAP=90°，于是得到∠EAB=∠DAP，即可得到結論；

（2）連接PB，PC，由（1）證得△APD≌△AEB，于是得到PD=AE，∠ADO=∠ABE，推出△ABP≌△DCP，得到PB=PC，根據勾股定理即可得到結論；

（3）過A作AM⊥PE于M，根據等腰直角三角形的性質得到AM=PM= ，求出DM=1+ ，由勾股定理得到AD= ，于是得到結果．

(1)∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=AD,∠BAD=90°，

∵AE⊥AP，

∴∠EAP=90°，

∴∠EAB=∠DAP，

在△APD與△AEB中，

，

∴△APD≌△AEB；

(2)連接PB,PC,由(1)證得△APD≌△AEB，

∴PD=AE，∠ADO=∠ABE，

∵AE=AP，

∴PD=AP，

∴∠PAD=∠PDA，

∴∠BAP=∠CDP，

在△ABP與△DCP中，

，

∴△ABP≌△DCP，

∴PB=PC，

∵∠BOE=∠AOP，

∴∠BEO=∠BAD=90°，

∵PE= AP=，

∴PB=，

∴PC=PB=；

(3)過A作AM⊥PE于M，

∴AM=PM= PE=，

∴DM=1+，

∴AD=，

∴正方形ABCD的面積=AD =2+.