Question

如圖1，已知點A（a，0），B（0，b），且a、b滿足，?ABCD的邊AD與y軸交于點E，且E為AD中點，雙曲線經過C、D兩點．
（1）求k的值；
（2）點P在雙曲線上，點Q在y軸上，若以點A、B、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，試求滿足要求的所有點P、Q的坐標；
（3）以線段AB為對角線作正方形AFBH（如圖3），點T是邊AF上一動點，M是HT的中點，MN⊥HT，交AB于N，當T在AF上運動時，的值是否發生改變？若改變，求出其變化范圍；若不改變，請求出其值，并給出你的證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據非負數的性質求出a、b的值，故可得出A、B兩點的坐標，設D（1，t），由DC∥AB，可知C（2，t-2），再根據平行四邊形的性質求出t的值即可；
（2）由（1）知k=4可知反比例函數的解析式為y=，再由點P在雙曲線上，點Q在y軸上，設Q（0，y），P（x，），再分以AB為邊和以AB為對角線兩種情況求出x的值，故可得出P、Q的坐標；
（3）連NH、NT、NF，易證NF=NH=NT，故∠NTF=∠NFT=∠AHN，∠TNH=∠TAH=90°，MN=HT由此即可得出結論．
解答：解：（1）∵+（a+b+3）2=0，且≥0，（a+b+3）²≥0，
∴，
解得：，
∴A（-1，0），B（0，-2），
∵E為AD中點，
∴x_D=1，
設D（1，t），
又∵DC∥AB，
∴C（2，t-2），
∴t=2t-4，
∴t=4，
∴k=4；

（2）∵由（1）知k=4，
∴反比例函數的解析式為y=，
∵點P在雙曲線上，點Q在y軸上，
∴設Q（0，y），P（x，），
①當AB為邊時：
如圖1所示：若ABPQ為平行四邊形，則=0，解得x=1，此時P₁（1，4），Q₁（0，6）；
如圖2所示；若ABQP為平行四邊形，則=，解得x=-1，此時P₂（-1，-4），Q₂（0，-6）；
②如圖3所示；當AB為對角線時：AP=BQ，且AP∥BQ；
∴=，解得x=-1，
∴P₃（-1，-4），Q₃（0，2）；
故P₁（1，4），Q₁（0，6）；P₂（-1，-4），Q₂（0，-6）；P₃（-1，-4），Q₃（0，2）；

（3）連NH、NT、NF，
∵MN是線段HT的垂直平分線，
∴NT=NH，
∵四邊形AFBH是正方形，
∴∠ABF=∠ABH，
在△BFN與△BHN中，
∵，
∴△BFN≌△BHN，
∴NF=NH=NT，
∴∠NTF=∠NFT=∠AHN，
∴∠TNH=∠TAH=90°，
∴MN=HT，
∴=．
點評：本題考查的是反比例函數綜合題，涉及到用待定系數法求反比例函數的解析式、正方形的性質、等腰三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質等相關知識，難度較大．