Question

如圖1，已知點D為等腰直角△ABC內一點，∠ACB=90°，∠CAD=∠CBD=15°，E為AD延長線上的一點，且CE=CA．
（1）請在圖1中，找出與AD相等的線段，并說明理由；
（2）求∠DCA的大小；
（3）若點M在DE上，如圖2，且DC=DM，求證：ME=BD．

Answer 1

分析：（1）根據條件可以得出∠DAB=DBA，從而可以得出AD=BD；
（2）根據等腰直角三角形的性質可以得出△ADC≌△BDC，就可以得出∠DCA=∠DCB，從而可以得出結論；
（3）連結MC，證明△DCM是等邊三角形，就可以得出CM=CD，∠MCE=45°，通過證明△MCE≌△DCB就可以得出結論．

解答：解：（1）BD=AD，
理由：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠ABC=45°．
∵∠CAD=∠CBD=15°
∴∠BAC-∠CAD=∠ABC-∠CBD=45°-15°=30°，
即∠DAB=∠DBA，
∴BD=AD；

（2）∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=BC，∠ACB=90°，
∵在△ADC和△BDC中，

AC=BC ∠CAD=∠CBD AD=BD

，
∴△ADC≌△BDC（SAS），
∴∠DCA=∠DCB，
∴∠DCA=

1

2

∠ACB=

1

2

×90°=45°；

（3）連結MC，
∵∠MDC=∠CAD+∠ACD，
∴∠MDC=15°+45°=60°．
∵DC=DM，
∴△DCM是等邊三角形．
∴CD=CM=DM，∠CDM=∠DMC=∠DCM．
∵CE=CA，
∴∠CAE=∠CEA=15°，BC=CE，
∴∠ACE=150°
∴∠MCE=150°-45°-60°=45°，
∴∠MCE=∠DCB，
∵在△MCE和△DCB中，

MC=DC ∠MCE=∠DCB CE=CB

，
∴△MCE≌△DCB（SAS），
∴ME=BD．

點評：本題考查了等腰直角三角形的性質的運用，等邊三角形的判定與性質的運用，全等三角形的判定與性質的運用，解答時證明三角形全等是解答本題的關鍵．