Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx(a＜0）過點E(10,0)，矩形ABCD的邊AB在線段OE上（點A在點B的左邊），點C，D在拋物線上．設A(t,0)，當t=2時，AD=4．

（1）求拋物線的函數表達式．

（2）當t為何值時，矩形ABCD的周長有最大值？最大值是多少？

（3）保持t=2時的矩形ABCD不動，向右平移拋物線．當平移后的拋物線與矩形的邊有兩個交點G，H，且直線GH平分矩形的面積時，求拋物線平移的距離．

Answer 1

【答案】（1）；（2）當t=1時，矩形ABCD的周長有最大值，最大值為；（3）拋物線向右平移的距離是4個單位．

【解析】

（1）由點E的坐標設拋物線的交點式，再把點D的坐標（2，4）代入計算可得；
（2）由拋物線的對稱性得BE=OA=t，據此知AB=10-2t，再由x=t時AD=，根據矩形的周長公式列出函數解析式，配方成頂點式即可得；
（3）由t=2得出點A、B、C、D及對角線交點P的坐標，由直線GH平分矩形的面積知直線GH必過點P，根據AB∥CD知線段OD平移后得到的線段是GH，由線段OD的中點Q平移后的對應點是P知PQ是△OBD中位線，據此可得．

（1）設拋物線解析式為，

當時，，

點的坐標為，

將點坐標代入解析式得，

解得：，

拋物線的函數表達式為；

（2）由拋物線的對稱性得，

，

當時，，

矩形的周長

，

，

，

，

當時，矩形的周長有最大值，最大值為；

（3）如圖，

當時，點、、、的坐標分別為、、、，

矩形對角線的交點的坐標為，

直線平分矩形的面積，

點是和的中點，

，

由平移知，

是的中位線，

，

所以拋物線向右平移的距離是4個單位．