Question

【題目】如圖，已知等腰三角形是線段上的一點，連結，且有.

（1）若，求的長；

（2）若，求證：.

Answer 1

【答案】（1）3；（2）見解析.

【解析】

（1）設∠C=x，根據等腰三角形的性質可得∠C=∠D，∠D=∠DAB，結合三角形外角的性質可得∠ABC=∠C，根據∠BAC=90°，可求得∠C=30°，解直角三角形可得AB=1，BC=2，即可求CD的長；

（2）由于 ，設AB=BD=a，所以CD=3a，證明△DAB∽△DCA，則可得 = ，求出AD=AC=a,可得 ，由勾股定理的逆定理得△ABC是直角三角形，∠BAC=90°．

解：（1）設，

，

.

，

，

.

，

，

，

∴.

在中，，

，

，

；

（2）設，∵

∴，

，

，

，

，

.

,

，

，

為直角三角形，.

故答案為：（1）3；（2）見解析.