Question

【題目】平面直角坐標系中有兩點、，我們定義、兩點間的“值”直角距離為，且滿足，其中．小靜和佳佳在解決問題：（求點與點的“1值”直角距離）時，采用了兩種不同的方法：

（方法一）：；

（方法二）：如圖1，過點作軸于點，過點作直線與軸交于點，則

請你參照以上兩種方法，解決下列問題：

（1）已知點，點，則、兩點間的“2值”直角距離．

（2）函數的圖像如圖2所示，點為其圖像上一動點，滿足兩點間的“值”直角距離，且符合條件的點有且僅有一個，求出符合條件的“值”和點坐標．

（3）城市的許多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直線行走到達目的地，只能按直角拐彎的方式行走，因此，兩地之間修建垂直和平行的街道常常轉化為兩點間的“值”直角距離，地位于地的正東方向上，地在點東北方向上且相距，以為圓心修建了一個半徑為的圓形濕地公園，現在要在公園和地之間修建觀光步道．步道只能東西或者南北走向，并且東西方向每千米成本是20萬元，南北方向每千米的成本是10萬元，問：修建這一規光步道至少要多少萬元？

Answer 1

【答案】（1）10 （2）， （3）

【解析】

（1）根據直角距離的公式，直接代入求解即可；

（2）設點C的坐標為，代入直角距離公式可得根據根的判別式求出k的值，即可求出點C的坐標；

（3）如圖，⊙C與線段AC交于點D，過點D作與AB交于點E，先證明△ADE是等腰直角三角形，從而得出，再根據直角距離的定義，即可求出出最低的成本．

（1）∵，點，點

∴；

（2）設點C的坐標為

∵

∴

∵

∴

∴

∵符合條件的點有且僅有一個，且

∴

解得

∴

解得

∴

故，；

（3）如圖，⊙C與線段AC交于點D，過點D作與AB交于點E

由題意得

∴

∵

∴△ADE是等腰直角三角形

∴

∵步道只能東西或者南北走向，并且東西方向每千米成本是20萬元，南北方向每千米的成本是10萬元

∴步道的最短距離為A和D的直角距離，即

最低總成本（萬元）

故修建這一規光步道至少要萬元．