Question

【題目】如圖，正方形ABCD的邊CD在正方形ECGF的邊CE上，連接DG，過點A作AH∥DG，交BG于點H．連接HF，AF，其中AF交EC于點M．

（1）求證：△AHF為等腰直角三角形．

（2）若AB＝3，EC＝5，求EM的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）EM＝

【解析】

（1）通過證明四邊形AHGD是平行四邊形，可得AH=DG，AD=HG=CD，由“SAS”可證△DCG≌△HGF，可得DG=HF，∠HFG=∠HGD，可證AH⊥HF，AH=HF，即可得結論；
（2）由題意可得DE=2，由平行線分線段成比例可得 ，即可求EM的長．

證明：（1）∵四邊形ABCD，四邊形ECGF都是正方形

∴DA∥BC，AD＝CD，FG＝CG，∠B＝∠CGF＝90°

∵AD∥BC，AH∥DG，

∴四邊形AHGD是平行四邊形

∴AH＝DG，AD＝HG＝CD，

∵CD＝HG，∠ECG＝∠CGF＝90°，FG＝CG，

∴△DCG≌△HGF（SAS），

∴DG＝HF，∠HFG＝∠HGD

∴AH＝HF，

∵∠HGD+∠DGF＝90°，

∴∠HFG+∠DGF＝90°

∴DG⊥HF，且AH∥DG，

∴AH⊥HF，且AH＝HF

∴△AHF為等腰直角三角形．

（2）∵AB＝3，EC＝5，

∴AD＝CD＝3，DE＝2，EF＝5．

∵AD∥EF，

∴，且DE＝2．

∴EM＝．