Question

【題目】如圖，△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AB=10．點Q與點B在AC的同側，且AQ⊥AC．

（1）如圖1，點Q不與點A重合，連結CQ交AB于點P．設AQ=x，AP=y，求y關于x的函數解析式，并寫出自變量x的取值范圍；

（2）是否存在點Q，使△PAQ與△ABC相似，若存在，求AQ的長；若不存在，請說明理由；

（3）如圖2，過點B作BD⊥AQ，垂足為D．將以點Q為圓心，QD為半徑的圓記為⊙Q．若點C到⊙Q上點的距離的最小值為8，求⊙Q的半徑．

Answer 1

【答案】(1) ；(2) 存在點Q，使△ABC∽△QAP，此時AQ=；(3)⊙Q的半徑為9或．

【解析】試題分析：（1）先由平行線分線段成比例得出， 代值即可得出結論；

（2）先判斷出要使△PAQ與△ABC相似，只有∠QPA=90°，進而由相似得出比例式即可得出結論；

（3）分點C在⊙O內部和外部兩種情況，用勾股定理建立方程求解即可．

試題解析：（1）∵AQ⊥AC，∠ACB=90°，∴AQ∥BC，∴，∵BC=6，AC=8，∴AB=10，

∵AQ=x，AP=y，∴，∴；

（2）∵∠ACB=90°，而∠PAQ與∠PQA都是銳角，∴要使△PAQ與△ABC相似，只有∠QPA=90°，

即CQ⊥AB，此時△ABC∽△QAC，則，∴AQ=．故存在點Q，使△ABC∽△QAP，此時AQ=；

（3）∵點C必在⊙Q外部，∴此時點C到⊙Q上點的距離的最小值為CQ﹣DQ．

設AQ=x．①當點Q在線段AD上時，QD=6﹣x，QC=6﹣x+8=14﹣x，

∴x2+82=（14﹣x）2，解得：x=，即⊙Q的半徑為．

②當點Q在線段AD延長線上時，QD=x﹣6，QC=x﹣6+8=x+2，

∴x2+82=（x+2）2，解得：x=15，即⊙Q的半徑為9．

∴⊙Q的半徑為9或．