Question

【題目】如圖，四邊形是矩形，點是對角線上一動點(不與、 重合)，連接，過點作，交射線于點，已知，．設的長為．

(1) ；當時， ；

(2)①試探究：否是定值?若是，請求出這個值；若不是，請說明理由；

②連接，設的面積為，求的最小值．

(3)當是等腰三角形時．請求出的值；

Answer 1

【答案】（1）4，；（2）①為定值，值為；② ；（3）或4

【解析】

（1）作PM⊥AB于M交CD于N．根據三角函數和勾股定理求出AB，求出PN和BM的長，由△BMP∽△PNE，推出 即可得出結果；

（2）① 為定值．證明方法類似（1）； ②利用勾股定理求出，根據三角形的面積公式得出二次函數，再利用二次函數的性質即可解決問題．

（3）分兩種情形討論求解，當點E在線段CD上時，當點E在DC的延長線上時，即可解決問題；

解：（1）作PM⊥AB于M交CD于N．如圖1所示：

∵四邊形ABCD是矩形， ∴BC=AD=3，∠ABC=90°，

∴sin∠BAC=

∴AC=5， ∴AB=

在Rt△APM中，PA=1，PM=，AM=，

∴，

∵MN=AD=3，

∴PN=MN-PM=，

∵∠PMB=∠PNE=∠BPE=90°，

∴∠BPM+∠EPN=90°，∠EPN+∠PEN=90°，

∴∠BPM=∠PEN，

∴△BMP∽△PNE，

∴

故答案為4，；

（2）①結論： 的值為定值．

理由如下： 當點E在點C左側時，如圖1所示： 由PA=x，可得PM＝

∴AM

∵△BMP∽△PNE，

∴

當點E在點C右側時，如圖2所示：

同理得出 ． 綜上所述：的值為定值．

②在Rt△PBM中，

∵ ． ∴，

∴

∵0＜x＜5， ∴ 時，S有最小值=．

（3）①當點E在線段CD上時，連接BE交AC于F．

∵∠PEC＞90°，所以只能EP=EC，

∴∠EPC=∠ECP，

∵∠BPE=∠BCE=90°，

∴∠BPC=∠BCP，

∴BP=BC，

∴BE垂直平分線段PC，

在Rt△BCF中，cos∠BCF，

∴ ∴

∴

∴

②當點E在DC的延長線上時，設BC交PE于G．

∵∠PCE＞90°，所以只能CP=CE．

∴∠CPE=∠E，

∵∠GPB=∠GCE=90°，∠PGB=∠CGE，

∴∠PBG=∠E=∠CPE，

∵∠ABP+∠PBC=90°，

∠APB+∠CPE=90°，

∴AB=AP=4，

綜上所述，x的值為或4．