Question

【題目】如圖，折疊矩形ABCD的一邊AD，使點D落在BC邊的點F處．

（1）如圖1，若折痕，且，求矩形ABCD的周長；

（2）如圖2，在AD邊上截取DG=CF，連接GE，BD，相交于點H，求證：BD⊥GE．

Answer 1

【答案】（1）36；（2）答案見解析．

【解析】

（1）設EC=3k，則FC=4k，EF=5k，然后判斷出∠BAF=∠EFC，利用三角函數的知識表示出BF、AF，結合AE的長．在Rt△AFE中利用勾股定理可求出矩形ABCD的邊長，繼而可得出周長．

（2）根據題意可得GD=FC，DE=EF，然后表示出cos∠EFC，及cos∠BAF，根據∠BAF=∠EFC，可得出一對相等的比例關系，繼而可判斷出△DBA∽△EGD，得出∠DBA=∠EGD，然后利用等量代換可確定結論．

（1）設EC=3k，由tan∠EFC=，則FC=4k，EF=5k．

∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=DC=8k．

∵∠AFE=∠D=90°，∴∠AFB+∠EFC=90°．

∵∠B=90°，∴∠BAF+∠AFB=90°，∴∠BAF=∠EFC，∴tan∠BAF=，∴BF=6k，AF=10k．在Rt△AFE中，AF2+EF2=AE2，AE=5，∴100k2+25k2=（5）2，解得：k=1，∴AB=DC=8，BC=AD=AF=10，所以矩形ABCD的周長為36．

（2）∵GD=FC，DE=EF，∴cos∠EFC==．

∵cos∠BAF==，∠BAF=∠EFC，∴=，∴△DBA∽△EGD，∴∠DBA=∠EGD．

∵∠DBA+∠ADB=90°，∴∠DGH+∠GDH=90°，∴∠GHD=90°，∴BD⊥GE．