Question

【題目】如圖1,在平面直角坐標系中,點O為坐標原點,點A(3a,2a)在第一象限,過點A向x軸作垂線,垂足為點B,連接OA,S△AOB=12，點M從O出發，沿y軸的正半軸以每秒2個單位長度的速度運動，點N從點B出發以每秒3個單位長度的速度向x軸負方向運動，點M與點N同時出發，設點M的運動時間為t秒，連接AM，AN，MN.

(1)求a的值；

(2)當0<t<2時，

①請探究∠ANM，∠OMN，∠BAN之間的數量關系，并說明理由；

②試判斷四邊形AMON的面積是否變化?若不變化，請求出其值；若變化，請說明理由。

(3)當OM=ON時，請求出t的值。

Answer 1

【答案】（1）a=2；（2）①∠ANM=∠OMN+∠BAN，理由見解析. ②四邊形AMON的面積不變，理由見解析. （3）t= 或6

【解析】

1）根據△AOB的面積列出方程即可解決問題；

（2）當0<t<2時①∠ANM=∠OMN+∠BAN．如圖2中，過N點作NH∥AB，利用平行的性質證明即可．②根據S四邊形AMON=S四邊形ABOM-S△ABN，計算即可；

（3）由OM=ON，得到2t=63t或2t=3t6，求出答案.

(1)如圖1中，

∵S△AOB=12,A(3a,2a)，

∴ ×3a×2a=12，

∴a =4，

又∵a>0，

∴a=2.

(2)當0<t<2時

①∠ANM=∠OMN+∠BAN，原因如下：

如圖2中,過N點作NH∥AB，

∵AB⊥X軸

∴AB∥OM

∴AB∥NH∥OM

∴∠OMN=∠MNH

∠BAN=∠ANH

∴∠ANM=∠MNH+∠ANH=∠OMN+∠BAN.

②S四邊形AMON=12，理由如下：

∵a=2

∴A(6,4)

∴OB=6，AB=4，OM=2tBN=3t

ON=63t

∴S四邊形AMON=S四邊形ABOMS△ABN,= (AB+OM)×OB×BN×AB= (4+2t)×6×3t×4=12+6t6t=12，

∴四邊形AMON的面積不變

(3)∵OM=ON

∴2t=63t或2t=3t6

∴t= 或6.