Question

【題目】如圖1，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B＝60°，AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，AD、CE相交于點F．

(1)直接寫出∠AFC的度數(shù)：　 　；

(2)請你判斷并寫出FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系；

(3)如圖2，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其它條件不變，試判斷線段AE、CD與AC之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由．

Answer 1

【答案】(1)120°；(2)DF＝EF，理由見解析；(3)AC＝AE+CD，理由見解析.

【解析】

（1）根據(jù)角平分線的基本性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和為180°即可得到答案；

（2）AC上截取CG＝CD，證明△CFG≌△CFD，從而得到DF＝GF,再證明△AFG≌△AFE，得到EF＝GF，故DF＝EF，得到答案；

（3）如圖3，在AC上截取AG＝AE，可證明△EAF≌△GAF（SAS），可得到∠EFA＝∠GFA，再證明△FDC≌△FGC（ASA），可得到CD＝CG,∴AC＝AG＋CG＝AE＋CD.

(1)∵∠ACB＝90°，∠B＝60°，

∴∠BAC＝90°﹣60°＝30°，

∵AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，

∴∠FAC＝15°，∠FCA＝45°，

∴∠AFC＝180°﹣（∠FAC+∠ACF）＝120°

(2) FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系為：DF＝EF．

理由：如圖2，在AC上截取CG＝CD，

∵CE是∠BCA的平分線，

∴∠DCF＝∠GCF，

在△CFG和△CFD中，

，

∴△CFG≌△CFD（SAS），

∴DF＝GF．

∵∠B＝60°，AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，

∴∠FAC＝∠BAC，∠FCA＝∠ACB，且∠EAF＝∠GAF，

∴∠FAC+∠FCA＝（∠BAC+∠ACB）＝（180°﹣∠B）＝60°，

∴∠AFC＝120°，

∴∠CFD＝60°＝∠CFG，

∴∠AFG＝60°，

又∵∠AFE＝∠CFD＝60°，

∴∠AFE＝∠AFG，

在△AFG和△AFE中，

,

∴△AFG≌△AFE（ASA），

∴EF＝GF，

∴DF＝EF；

(3)結(jié)論：AC＝AE+CD．

理由：如圖3，在AC上截取AG＝AE，

同(2)可得，△EAF≌△GAF（SAS），

∴∠EFA＝∠GFA．

又由題可知，∠FAC＝∠BAC，∠FCA＝∠ACB，

∴∠FAC+∠FCA＝（∠BAC+∠ACB）＝（180°﹣∠B）＝60°，

∴∠AFC＝180°﹣（∠FAC+∠FCA）＝120°，

∴∠EFA＝∠GFA＝180°﹣120°＝60°＝∠DFC，

∴∠CFG＝∠CFD＝60°，

同(2)可得，△FDC≌△FGC（ASA），

∴CD＝CG，

∴AC＝AG+CG＝AE+CD．