Question

【題目】如圖，點A、B、C分別是⊙O上的點，∠B=60°，AC=3，CD是⊙O的直徑，P是CD延長線上的一點，且AP=AC．
（1）求證：AP是⊙O的切線；
（2）求PD的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OA．

∵∠B=60°，

∴∠AOC=2∠B=120°，

又∵OA=OC，

∴∠ACP=∠CAO=30°，

∴∠AOP=60°，

∵AP=AC，

∴∠P=∠ACP=30°，

∴∠OAP=90°，

∴OA⊥AP，

∴AP是⊙O的切線，

（2）解：連接AD．

∵CD是⊙O的直徑，

∴∠CAD=90°，

∴AD=ACtan30°=3× = ，

∵∠ADC=∠B=60°，

∴∠PAD=∠ADC﹣∠P=60°﹣30°=30°，

∴∠P=∠PAD，

∴PD=AD= ．

【解析】（1）首先連接OA，由∠B=60°，利用圓周角定理，即可求得∠AOC的度數，又由OA=OC，即可求得∠OAC與∠OCA的度數，利用三角形外角的性質，求得∠AOP的度數，又由AP=AC，利用等邊對等角，求得∠P，則可求得∠PAO=90°，則可證得AP是⊙O的切線；（2）由CD是⊙O的直徑，即可得∠DAC=90°，然后利用三角函數與等腰三角形的判定定理，即可求得PD的長．