Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，將此矩形繞點B順時針方向旋轉θ（0＜θ＜180°）得到矩形A1BC1D1，直線BA1、C1D1分別與直線CD相交于點E、F．

（1）若此矩形繞點B順時針方向旋轉90°，求DD1的長；

（2）在旋轉過程中，點D、A1、D1三點共線時，求△BCE的面積；

（3）在矩形ABCD旋轉的過程中，是否存在某個位置使得以B、E、F、D1為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，求出CF的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）DD1=；（2）S△BEC=；（3）CF=18．

【解析】

（1）延長DC交C1D1于H，利用矩形的性質可得DH和HD1長，由勾股定理求解即可；

（2）連接BD，由HL定理可證△BDA1≌△DBC，設DE=BE=x，在Rt△BCE中，由勾股定理可知DE長，易知CE長，根據面積公式求解即可；

（3）由勾股定理可得EF長，根據tan∠CEB=tan∠EBD1的表示可得EC長，易求CF.

解：（1）如圖1中，延長DC交C1D1于H．

∵四邊形ABCD，四邊形A1BC1D1是矩形，∴∠A=∠ADH=∠AC1H=90°，∴四邊形ADHC1是矩形，∴DH=AC=8+6=14，HC1=AD=6，∠DHC1=∠DHD1=90°，∴HD1=8﹣6=2，∴DD1===．

（2）如圖2中，連接BD．

∵∠DA1B=∠DCB=90°．BD=DB，BA1=DC，∴△BDA1≌△DBC（HL），∴∠DBA1=∠BDC，∴ED=EB，設DE=BE=x，

在Rt△BCE中，∵BE2=EC2+BC2，∴x2=（8﹣x）2+62，∴x=，∴EC=8﹣=，∴S△BEC=BCEC=×6×=．

（3）如圖3中，存在．

∵四邊形BD1FE是平行四邊形，∴EF=BD1==10．

∵EC∥BD1，∴∠CEB=∠A1BD1，∴tan∠CEB=tan∠EBD1，∴，∴，∴EC=8，∴CF=EC+EF=8=10=18．