Question

【題目】如圖，二次函數y=x2+bx+c的圖象與x軸交于 A、B兩點，與y軸交于點C，OB=OC．點D在函數圖象上，CD∥x軸，且CD=2，直線l是拋物線的對稱軸，E是拋物線的頂點．

（1）求b、c的值；

（2）如圖①，連接BE，線段OC上的點F關于直線l的對稱點F'恰好在線段BE上，求點F的坐標；

（3）如圖②，動點P在線段OB上，過點P作x軸的垂線分別與BC交于點M，與拋物線交于點N．試問：拋物線上是否存在點Q，使得△PQN與△APM的面積相等，且線段NQ的長度最小？如果存在，求出點Q的坐標；如果不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）c=﹣3；（2）點F的坐標為（0，﹣2）；（3）存在點Q滿足題意．存在滿足題意的點Q，其坐標為（，）或（，）．

【解析】分析：（1）由條件可求得拋物線對稱軸，則可求得b的值；由OB=OC，可用c表示出B點坐標，代入拋物線解析式可求得c的值；
（2）可設F則可表示出F′的坐標，由B、E的坐標可求得直線BE的解析式，把F′坐標代入直線BE解析式可得到關于m的方程，可求得F點的坐標；
（3）設點P坐標為，可表示出PA、PB、PN的長，作 垂足為R，則可求得QR的長，用n可表示出Q、R、N的坐標，在中，由勾股定理可得到關于n的二次函數，利用二次函數的性質可知其取得最小值時n的值，則可求得Q點的坐標，

詳解：（1）∵CD∥x軸，CD=2，

∴拋物線對稱軸為x=1．

∴

∵OB=OC，

∴B點的坐標為

∴ 解得或 （舍去），

∴

（2）設點F的坐標為

∵對稱軸為直線x=1，

∴點F關于直線l的對稱點的坐標為

由（1）可知拋物線解析式為

∴

∵直線BE經過點

∴利用待定系數法可得直線BE的表達式為

∵點在BE上，

∴ 即點F的坐標為

（3）存在點Q滿足題意．

設點P坐標為，則

作 垂足為R，

∵

∴

∴

點Q在直線PN的左側時，Q點的坐標為 R點的坐標為N點的坐標為

∴在中，

∴時，NQ取最小值1．此時Q點的坐標為

點Q在直線PN的右側時，Q點的坐標為

同理，

∴時，NQ取最小值1．此時Q點的坐標為

綜上可知存在滿足題意的點Q，其坐標為或