Question

【題目】如圖，和都是等腰直角三角形，，的頂點與的斜邊的中點重合，將繞點旋轉，旋轉過程中，線段與線段相交于點，射線與線段相交于點，與射線相交于點.

（1）求證：；

（2）求證：平分；

（3）當，，求的長.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）5.

【解析】

（1）由△ABC和△DEF是兩個等腰直角三角形，易得∠B＝∠C＝∠DEF＝45°，然后利用三角形的外角的性質，即可得∠BEP＝∠EQC，則可證得△BPE∽△CEQ；

（2）只要證明△BPE∽△EPQ，可得∠BEP＝∠EQP，且∠BEP＝∠CQE，可得結論；

（3）由相似三角形的性質可求BE＝3＝EC，可求AP＝4，AQ＝3，即可求PQ的長．

解：（1）和是兩個等腰直角三角形，

，

，

即，

，

，

，

（2），

,

，

，

,

，

，且,

，

平分

（3）

，且，，

，

，

，

，

，，

.