Question

【題目】如圖，四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于O，在①AB∥CD；②AO＝CO；③AD＝BC中任意選取兩個作為條件，“四邊形ABCD是平行四邊形”為結論構成命題。

（1）以①②作為條件構成的命題是真命題嗎？若是，請證明；若不是，請舉出反例；

（2）寫出按題意構成的所有命題中的假命題，并舉出反例加以說明．（命題請寫成“如果…，那么…．”的形式）

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

（1）根據平行得出全等三角形，即可求出OB=OD，根據平行四邊形的判定推出即可；（2）根據等腰梯形和平行四邊形的判定判斷即可.

（1）以①②作為條件構成的命題是真命題；

證明：如圖，

∵AB∥CD，

∴∠OAB=∠OCD，

在△AOB和△COD中，

∴△AOB≌△COD（ASA），

∴OB=OD，

∴四邊形ABCD是平行四邊形。

（2）根據①③作為條件構成的命題是假命題，即如果有一組對邊平行，另一組對邊相等，那么四邊形是平行四邊形，如等腰梯形符合，但不是平行四邊形；如圖，

根據②③作為條件構成的命題是假命題，即如果一個四邊形ABCD的對角線交于O，且OA=OC，AD=BC，那么這個四邊形是平行四邊形，如圖，

根據已知不能推出OB=OD或AD∥BC或AB=DC，即四邊形不是平行四邊形.