Question

【題目】如圖，分別以Rt△ABC的斜邊AB，直角邊AC為邊向外作等邊△ABD和△ACE，F為AB的中點，DE，AB相交于點G．連接EF，若∠BAC＝30°，下列結論：①EF⊥AC；②四邊形ADFE為菱形；③AD＝4AG；④△DBF≌△EFA．則正確結論的序號是（　�。�

A.①③B.②④C.①③④D.②③④

Answer 1

【答案】C

【解析】

根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可得FA＝FC，根據等邊三角形的性質可得EA＝EC，根據線段垂直平分線的判定可得EF是線段AC的垂直平分線；根據條件及等邊三角形的性質可得∠DFA＝∠EAF＝90°，DA⊥AC，從而得到DF∥AE，DA∥EF，可得到四邊形ADFE為平行四邊形而不是菱形；根據平行四邊形的對角線互相平分可得AD＝AB＝2AF＝4AG；易證DB＝DA＝EF，∠DBF＝∠EFA＝60°，BF＝FA，即可得到△DBF≌△EFA．

連接FC，如圖所示：

∵∠ACB＝90°，F為AB的中點，

∴FA＝FB＝FC，

∵△ACE是等邊三角形，

∴EA＝EC，

∵FA＝FC，EA＝EC，

∴點F、點E都在線段AC的垂直平分線上，

∴EF垂直平分AC，即EF⊥AC；

∵△ABD和△ACE都是等邊三角形，F為AB的中點，

∴DF⊥AB即∠DFA＝90°，BD＝DA＝AB＝2AF，∠DBA＝∠DAB＝∠EAC＝∠ACE＝60°．

∵∠BAC＝30°，

∴∠DAC＝∠EAF＝90°，

∴∠DFA＝∠EAF＝90°，DA⊥AC，

∴DF∥AE，DA∥EF，

∴四邊形ADFE為平行四邊形而不是菱形；

∵四邊形ADFE為平行四邊形，

∴DA＝EF，AF＝2AG，

∴BD＝DA＝EF，DA＝AB＝2AF＝4AG；

在△DBF和△EFA中， ，

∴△DBF≌△EFA（SAS）；

綜上所述：①③④正確，

故選：C．