Question

已知直線與拋物線交于點A（1，），與軸交于點C．
（1）求拋物線的解析式和點C的坐標；
（2）把（1）中的拋物線向右平移2個單位，再向上平移個單位（＞0），拋物線與軸交于P、Q兩點，過C、P、Q三點的圓恰好以CQ為直徑，求的值；
（3）如圖，把拋物線向右平移2個單位，再向上平移個單位（＞0），拋物線與軸交于P、Q兩點，過C、P、Q三點的圓的面積是否存在最小值？若存在，請求出這個最小值和此時的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1），C（0，-1）；（2）；（3）最小值為， 

試題分析：（1）把A（1，）分別代入直線與拋物線，即可求得結果；
（2）先根據平移的特征得到平移后的函數關系式，再根據直徑所對的圓周角是直角即可得到結果；
（3）先設出平移后拋物線的解析式，不難得出平移后拋物線的對稱軸．因此過C、P、Q三點的圓的圓心必在對稱軸上，要使圓的面積最小，那么圓心到C點的距離也要最小，即兩點的縱坐標相同，即可得到圓的半徑，求出圓心的坐標．可設出平移后的拋物線的解析式，表示出PQ的長，如果設對稱軸與x軸的交點為E，那么可表示出PE的長，根據勾股定理即可確定平移的距離．
（1）把A（1，）分別代入直線與拋物線，
可得，，
∴拋物線的解析式為，直線的解析式為，
在中，當時，，
∴C的坐標為（0，-1）；
（2）設平移后的拋物線函數關系式為，
由題意得，此時拋物線的圖象經過原點（0，0），
則，解得；
（3）設平移后的拋物線函數關系式為，
令，則，
∵過C、P、Q三點的圓的圓心一定在直線x=2上，點C為定點，
∴要使圓的面積最小，圓的半徑應等于點C到直線x=2的距離，此時，半徑為2，面積為，
設圓心為O，PQ的中點為E，連接OE，OP．
在三角形CEM中，
，
，解得，  
∴當時，過C、P、Q三點的圓的面積最小，最小面積為.
點評：解答本題的關鍵是注意平移不改變二次項的系數；拋物線的平移，看頂點的平移即可；左右平移，只改變頂點的橫坐標，左減右加；上下平移，只改變頂點的縱坐標，上加下減．