Question

【題目】如圖，直線與x軸、y軸分別交于BC兩點，拋物線經過B、C兩點，且與x軸交于點A

（1）求該拋物線的函數表達式；

（2）已知點M是第一象限內拋物線上的一個動點，過點M作MN平行于y軸交直線BC于點N，連接AM、BM、AN，求四邊形MANB面積S的最大值，并求出此時點M的坐標；

（3）拋物線的對稱軸交直線BC于點D，若Q為y軸上一點，則在拋物線上是否存在一點P，使得以B、D、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）當t＝時，S四邊形MANB的最大值＝5，此時點M；（3）P坐標為或或．

【解析】

（1）直線與x軸、y軸的交點為B（5，0），C（0，﹣2），代入拋物線解析式可求出a，c的值；

（2）設點，用含t的代數式表示四邊形MANB的面積，得到S與t的函數關系式，利用二次函數最大值求出t的值；

（3）存在，分BD為平行四邊形的邊或對角線進行分類討論．

解：（1）由x﹣2＝0得x＝5，

∴B（5，0），令x＝0，得y＝﹣2，

∴C（0，﹣2），

由題意得：，

解得，

∴拋物線解析式為 ．

（2）如圖1，設，

S四邊形MANB＝S△AMN+S△BMN

＝AGMN+BGMN

＝MN（AG+BG）

＝MNAB

＝×4（t2+2t）

∵＜0，

∴當t＝時，S四邊形MANB的最大值＝5，此時點M．

（3）存在．由為 ，

∴拋物線對稱軸x＝3．對稱軸交x軸于F，

①以BD為邊，PQ在BC上方，如圖2，D（3，），F（3，0），

∵四邊形BDQP是平行四邊形，∴BD∥PQ，BD＝PQ，

過點P作PH⊥y軸于H，

∴∠PHQ＝∠BFD＝90°，∠PQH＝∠BCO＝∠BDF，

∴△PQH≌△BDF，

∴PH＝BF＝2，HQ＝FD＝，

∴P（2，）．

②以BD為邊，PQ在BC下方，如圖3，仿照①可求得P，

③以BD為平行四邊形對角線，如圖4，設BD中點為S，則S，

∵BPDQ是平行四邊形，

∴BD與PQ互相平分，

∴SQ＝SP，

∴S是PQ中點，

設，

∴，

∴a＝8，

∴P（8， ）

綜上所述，P坐標為或或．