Question

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，點E，F，G，H分別在邊AB，BC，CD，DA上，AE＝CG，AH＝CF，且EG平分∠HEF．

(1)求證：△AEH≌△CGF．

(2)若∠EFG＝90°．求證：四邊形EFGH是正方形．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.

【解析】

(1)根據全等三角形的判定定理SAS證得結論；

(2)先證明四邊形EFGH是平行四邊形，再證明有一組鄰邊相等，然后結合∠EFG＝90°，即可證得該平行四邊形是正方形．

證明：(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴∠A＝∠C．

在△AEH與△CGF中，

，

∴△AEH≌△CGF(SAS)；

(2)∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD＝BC，AB＝CD，∠B＝∠D．

∵AE＝CG，AH＝CF，

∴EB＝DG，HD＝BF．

∴△BEF≌△DGH(SAS)，

∴EF＝HG．

又∵△AEH≌△CGF，

∴EH＝GF．

∴四邊形HEFG為平行四邊形．

∴EH∥FG，

∴∠HEG＝∠FGE．

∵EG平分∠HEF，

∴∠HEG＝∠FEG，

∴∠FGE＝∠FEG，

∴EF＝GF，

又∵∠EFG＝90°，

∴平行四邊形EFGH是正方形．

∴四邊形EFGH是菱形．