Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是邊BC的中點，DE⊥AC，垂足為點 E．

(1)求證：DECD＝ADCE；

(2)設F為DE的中點，連接AF、BE，求證：AFBC＝ADBE．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.

【解析】

（1）由AB=AC，D是邊BC的中點，利用等腰三角形的性質可得出∠ADC=90°，由同角的余角相等可得出∠ADE=∠DCE，結合∠AED=∠DEC=90°可證出△AED∽△DEC，再利用相似三角形的性質可證出DECD=ADCE；

（2）利用等腰三角形的性質及中點的定義可得出CD=BC，DE=2DF，結合DECD=ADCE可得出，結合∠BCE=∠ADF可證出△BCE∽△ADF，再利用相似三角形的性質可證出AFBC=ADBE．

(1)∵AB＝AC，D是邊BC的中點，

∴AD⊥BC，

∴∠ADC＝90°，

∴∠ADE+∠CDE＝90°．

∵DE⊥AC，

∴∠CED＝90°，

∴∠CDE+∠DCE＝90°，

∴∠ADE＝∠DCE．

又∵∠AED＝∠DEC＝90°，

∴△AED∽△DEC，

∴，

∴DECD＝ADCE；

(2)∵AB＝AC，

∴BD＝CD＝BC，

∵F為DE的中點，

∴DE＝2DF．

∵DECD＝ADCE，

∴2DFBC＝ADCE，

∴，

又∵∠BCE＝∠ADF，

∴△BCE∽△ADF，

∴，

∴AFBC＝ADBE．